数学 - 三维空间旋转二维光盘中的生成点

Question

我一直试图仅使用光盘的位置和法线在3D空间中沿着2D光盘的环（包括平移和旋转）生成点。

我一直在使用以下代码生成点并在Matlab中测试它（但将在c＃中使用它）来检查点是否正确生成，但它似乎并不是正确地生成点。

numPoints = 25;
radius = 1;
pos = [1; 2; 3];
dir = normc([3; 4; 6]); % normalised

function [pointsT, points] = GenerateDiscPoints(numPoints, radius, pos, dir) 
    points = zeros(numPoints, 3);
    pointsT = zeros(numPoints, 3);

    % Angle between points
    angle = 2 * pi / numPoints;

    for i = 1:numPoints+1
        % Current point angle
        theta = angle * i; 

        % Generate point in flat disc (y is vertical axis in Unity)
        x = radius * cos(theta) + pos(1);
        y = 0 + pos(2);
        z = radius * sin(theta) + pos(3);

        % Save points
        points(i, 1) = x;
        points(i, 2) = y;
        points(i, 3) = z;

        % Calculate t value to translate points
        t = (dir(1) * pos(1) - dir(1) * x + dir(2) * pos(2) - dir(2) * y + dir(3) * pos(3) - dir(3) * z) / (dir(1)*dir(1) + dir(2)*dir(2) + dir(3)*dir(3));

        % Translate points to correct location
        xT = x + t*dir(1);
        yT = y + t*dir(2);
        zT = z + t*dir(3);

        % Save translated points
        pointsT(i, 1) = xT;
        pointsT(i, 2) = yT;
        pointsT(i, 3) = zT;
    end

    % Plot
    figure;
    hold all;
    grid on;
    scatter3(points(:,1), points(:,2), points(:,3), 25, 'r');
    scatter3(pointsT(:,1), pointsT(:,2), pointsT(:,3), 25, 'g');
    p3 = line([pos(1) pos(1)+dir(1)], [pos(2) pos(2)+dir(2)], [pos(3) pos(3)+dir(3)]);
    set(p3, 'Color', 'blue');
end

蓝线是光盘的法线，红点是翻译前的点，绿点是翻译后的点。在我看来，翻译的点似乎并没有在指定正常的光盘中生成。

我目前的算法出了什么问题？有什么更好的方法呢？

Answer 1

沿着dir方向的简单线性平移是不够的 - 你最终会得到pos平面上圆圈的投影，而dir正常{{ 1}}，即椭圆。

你可以：

• 使用四元数构建旋转矩阵，将生成的圆圈重新定位到dir。

  • 创建此四元数：https://stackoverflow.com/a/1171995/8204776
  • 将其转换为矩阵：https://stackoverflow.com/a/1556470/8204776

或

• 在pos处构建正交基础，其中一个轴为dir。

  简单的方法：

  1. 检查X轴是否与dir平行 - 理想情况下是abs(dot(dir, X)) < 0.8（假设两者都已归一化），因此它们彼此不太接近

  2. 如果（1）为真，则选择dir2 = Y，否则dir2 = X。

  3. 要创建第一个基础向量A = normalize(cross(dir, dir2))。

  4. 创建第二个B = cross(dir, A)。

  5. 现在，您可以按theta pos + radius * (A * cos(theta) + B * sin(theta))的每个值生成点数（以矢量表示法）。