匹配节点的图形算法

Question

给定一个有向图，我可以用什么算法找到其边缘的随机子集，以便每个节点只有一个传入和一个传出边？

例如，这可能是我给出的图表：

这将是一个有效的输出图：

这是有效的，因为：

• 它包含输入图上的所有节点
• 它的所有边缘也在输入图上
• 每个节点只有一个边缘离开它，一个边缘到达它（并且不能是相同的边缘，不允许循环，每个节点必须连接到至少一个其他节点）。

如果没有可能的解决方案应该被检测到。

是否有一种有效的算法来解决这个问题？

谢谢！

Answer 1

这是节点周期覆盖问题。它可以解决为Maximum matchings in bipartite graphs。

简而言之：

1. 将每个节点分成两个，每个节点位于图形的一个分区中，以便所有边缘从分区P1到分区P2。在您的示例中，节点A和D将变为分区P1中的节点A1，D1和P2中的A2，D2。边缘A-D将变为A1-D2，而D-A变为D1-A2。
2. 然后找到最大匹配，存在一些算法。
3. 然后合并节点，你就有了一个循环覆盖。

Answer 2

您正在尝试将图表分解为一组周期。

This link指向Tarjan的算法，用于在图表中查找周期。

之后，您将需要一些搜索策略（根据您的约束，某些周期选择可能无法找到解决方案）。