算法的频率计数

Question

我需要知道如何在以下程序中确定 sum：= sum + 1 语句的频率计数：

sum:=0

for i:=1 to n do
  for j:=1 to i do
    for k:=1 to j do
        sum:= sum+1
    end<br/>
  end
end

我还想知道，一般来说，如何确定所有算法的频率计数，而不仅仅是这一算法。

Answer 1

ΣΣΣ1=ΣΣj=Σ（i *（i + 1））/ 2 =Σ（i ^ 2 + i）/ 2 =（n（n + 1）（2n + 1） ）/ 6 + n（n + 1）/ 2）/ 2 = n（n + 1）（n + 2）/ 6

你的公式是：

F(n) = n(n+1)(n+2)/6

目前还没有计算运行时间的通用方法，如果有某种方法，应该从计算机科学中删除复杂性理论。

Answer 2

对于表示确切频率的表达式，您需要咨询summation formulas for polynomials。

即，内循环依赖于外循环的当前迭代。例如：

sum := 0
for i:=1 to n do
  for j:=1 to i do
    sum := sum + 1

关于n，总和是1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n。在求和表示法中，它是Σ _{i = 1} ⁿ i。

Answer 3

好吧，让我们从内到外构建它。

每次运行内部循环时，代码行执行j次。到目前为止一切都很好。

因此，每次运行中间循环时，我们执行语句1 + 2 + 3 + ... + i - 1 + i次。任何人都应该认识到等于i * (i + 1) / 2。或(i^2 + i) / 2

每次运行外循环时，我们执行语句((1^2+1) + (2^2+2) + ... (n^2+n))/2次。

我会将最终结果作为练习留给读者。

虽然这个问题一般是不可判定的 - 如果你知道程序中每行代码会执行多少次，你就可以解决停机问题。