我很难理解两类问题的复杂性之间的关系，比如NP-hard和NP-complete问题。
https://stackoverflow.com/a/1857342/的回答：
直观地说，这些问题至少与NP完全问题一样难以解决。请注意，NP-hard问题不必在NP 中，而它们不一定是决策问题。
这里的确切定义是问题
X是NP难的，如果存在NP完全问题Y，那么Y可以简化为{{ 1}}在多项式时间。
如果问题X可以在多项式时间缩短为Y，我们是否应该说X至少与Y一样难？如果问题X在多项式时间内可缩减为Y，则求解X所需的时间是多项式时间+求解Y所需的时间。因此，在我看来，问题X至少与Y一样难。
但上面引用的文字恰恰相反。它说，如果NP完全问题X可以简化为NP难问题Y，则NP难问题至少与NP完全问题一样难。
这有什么意义？我在哪里思考错误？
答案 0 :(得分：2)
你的错误是假设你必须解决X以解决Y.Y实际上可能更容易，但解决它的一种方法是将其更改为X问题的实例。由于我们处于大O符号和NP类中，我们已经超越了线性算法，您可以随时安全地丢弃算法的任何线性部分。哎呀你几乎可以安全地丢弃任何多项式部分，直到P = NP问题得到解决。这意味着O(f(n) + n) = O(f(n))其中n=O(f(n))。
示例（显然既没有NP-hard或NP-complete问题，只是一个例子）：你要找到n个未排序数组中的最小数字。有一个明显的解决方案来迭代整个列表，并记住你找到的最低数字，非常直接和坚实的O（n）。
其他人来了，说，好吧，让我们改变它来排序数组，然后我们可以拿第一个数字，它将是最低的。请注意，这个问题的转换是O（1），但是我们可以假设必须对数组进行一些预处理才能使它成为O（n）。整体解决方案是O（n + n * log（n））= O（n * log（n））。
在这里你也将容易的问题改为难题，从而证明难题确实与简单问题相同或更难。
基本上NP难问题的定义意味着，X至少和NP完全Y问题一样难。如果你发现一个NP-complete Y问题可以通过解决X问题来解决，那就意味着要么X比Y更难或更难，那么它确实是NP难的，或者如果它更简单，就意味着你发现了算法比以前的算法更快地解决Y，甚至可能将它从NP-complete类中移出。
另一个例子：让我们假装卷积在我的“完整”集中，通常需要O（n²）。然后你用O（n * log（n））提出快速傅里叶变换，你会发现你可以通过将其转换为FFT问题来解决卷积问题。现在你想出了一个卷积解决方案，它是o（n²），更具体地说是O（n * log（n））。
答案 1 :(得分：0)
设I_X为X的指标函数（即，如果输入在X中则为1，否则为0）并且I_Y是Y的指示函数。如果Y通过可以在多项式中计算的函数f减少到X-时间，然后I_Y = I_X。 f，在哪里。表示功能组成。 X至少和Y一样硬，因为给定I_X的算法，上面的公式给出了I_Y的算法，对于在多项式替换（例如，多项式，指数，有限）下关闭的任何运行时类，如果算法为I_X属于该类，那么I_Y的算法也是如此。该陈述的对立面是，如果Y没有快速决策程序，则X没有快速决策程序。