动态规划矩阵链序分析

Question

所以我们有矩阵链序算法，它找到乘法矩阵的最佳方法。我明白为什么它的运行时间为O（n ^ 3），但很难证明它的大欧米茄（n ^ 3）。算法如下 算法矩阵链序（p）

1. n ← p.length − 1
2. for i ← 1 to n do
3.   m[i, i] ← 0
4. for l ← 2 to n do
5.    for i ← 1 to n − l + 1 do
6.      j ← i + l − 1
7.      m[i, j] ← ∞
8.      for k ← i to j − 1 do
9.        q ← m[i, k] + m[k + 1, j] + pi−1pkpj (these are P(base)i-1
10.       if q < m[i, j] then
11.         m[i, j] ← q
12.         s[i, j] ← k
13. return s

O（n ^ 3）是显而易见的，因为有三个循环嵌套并运行O（n）次。我怎么去寻找大欧米茄（n ^ 3）

Answer 1

为了更好地理解问题，我可以看一下here。

您需要计算上层tirangular矩阵的元素。让我们看看这些子对角线：

1. 第一个对角线，每个元素只需要 1 操作，对角线有 n-1 元素。

2. 第二个subidagonal你需要 2 操作，它有 n-2 元素。
   ...

3. 对于最后一个对角线，您需要 n-1 操作，并且 1 元素。

所以，你有一个求和i（n-i），0 <＆lt;我＆lt; ñ。这个总和可以分为两部分：

• sum（in）= n（1 + 2 + ...（n-1））= n（n / 2）（n-1）= n ^ 3/2-n ^ 2/2
• sum（i ^ 2）= n（n + 1）（2n + 1）/ 6 = n ^ 3/3 + n ^ 2/2 + n / 6

现在减去，你将有n ^ 3/6 + ...

所以，它是Omega（n ^ 3）。