Question

我有一个叫做数值方法的课程，在那里我们学习如何为物理学中的某些问题编写程序。我们必须编写4个可以解决ODE的程序（隐式/显式euler，速度 - verlet，隐式中点规则），现在我们必须使用| y_N - y（T）|来计算误差。我们已经有了一个我们需要填写的模板。这是我们必须完成的代码。

def ex2_d():
T = 0.2
y0 = np.array([0.3, 0.0])

all_methods = [explicit_euler, implicit_euler, implicit_mid_point, velocity_verlet]
all_rhs = 3*[pendulum_rhs] + [pendulum_verlet_rhs]
resolutions = 2**np.arange(4, 11)

_, y_exact = ode45(pendulum_rhs, (0.0, T), y0, reltol=1e-12)

for method, rhs in zip(all_methods, all_rhs):
    error = np.empty(resolutions.size)
    for k, N in enumerate(resolutions):
        # TODO: Berechen Sie die Lösung und den Fehler
        error[k] = np.absolute(methode())

    rate = convergence_rate(error, resolutions)
    print(method)
    print("rate: " + str(rate) + "\n")

我唯一需要填写的是TODO部分。但是我不明白，for循环，它以枚举（分辨率）循环遍历k和N，为什么分辨率数组被声明为无论如何？

提前感谢您的帮助！

Answer 1

在数值求解ODE时，您希望使用标准方法获得加倍分辨率（将步长减半），以找到收敛速度：

(u_h - u_(h/2))/(u_(h/2) - u_(h/4)) = 2^p + O(h)

u_h步骤h的数值解，u_(h/2)步骤h/2（例如双倍分辨率）和u_(h/4)解决方案步骤h/4（例如，再次双倍分辨率）。错误的顺序为p，其收敛率为h^p

这就是分辨率被声明为2**np.arange(4,11), which gives [16,32,64,128,256,512,1024]的原因。（您可以使用其他网格尺寸，这将相应地更改公式。有关详细信息，请参阅this。

要将错误存储在列表中，您需要相应的分辨率索引，这就是使用enumerate的原因：

enumerate(resolutions) -> [(0,16), (1,32), (2,64), (3,128), (4,256), (5,512), (6,1024)]

由for循环解压缩：

iteration    k    N
1            0    16
2            1    32

等

Answer 2

这个练习的目的是比较解决pendulum_rhs给出的微分方程的不同方法。

比较发生的数量是收敛率。为了确定这个速率，您需要使用变化的分辨率（底层网格）来解决DE并计算每个分辨率的误差。

使用的决议是：resolutions =[16, 32, 64, ...]。

因此，对于给定的方法method，您将迭代分辨率：

for k in range(len(resolutions)):
    N = resolutions[k]
    # calculate the result using N
    result = method(..., N, ...)
    #store it in an array called 
    error[k] = np.abs(y_exact - result)

为什么我们在这个程序中使用枚举？

2 个答案: