Dijkstra vs. Floyd-Warshall：在所有节点对上寻找最佳路线

Question

我正在阅读Dijkstra的算法和Floyd-Warshall算法。据我所知，Dijkstra找到了从一个节点到所有其他节点的最佳路径，Floyd-Warshall找到了所有节点配对的最佳路径。

我的问题是，如果我在每个节点上运行它，Dijkstra的算法会比Floyd更有效，以便找到所有配对之间的最佳路径。

Dijkstra的运行时间是O（E + VlogV），其中Floyd是O（V ³ ）。如果Dijkstra失败了，在这种情况下它的运行时间是什么？谢谢！

Answer 1

正如其他人所指出的那样，Floyd-Warshall在时间O（n ³ ）运行并运行Dijkstra从每个节点到另一个节点的搜索，假设您正在使用Fibonacci堆返回你的Dijkstra的实现，需要O（mn + n ² log n）。但是，你不能总是在任意图上安全地运行Dijkstra，因为Dijkstra的算法不适用于负边权重。

有一个名为 Johnson's algorithm 的真正卓越的算法，它是对每个节点运行Dijkstra算法的略微修改，即使图形包含负边缘，也允许该方法工作（因为没有任何负面周期）。该算法首先在图上运行Bellman-Ford以将其转换为没有负边的图，然后使用从每个顶点开始的Dijkstra算法。因为Bellman-Ford在时间O（mn）运行，所以整体渐近运行时仍然是O（mn + n ² log n），所以如果m = o（n ² ）（注意这是n的 little-o ），这种方法比使用Floyd-Warshall更快。

这里的一个问题是，假设你有一个由Fibonacci堆支持的Dijkstra算法。如果你没有Fibonacci堆可用并且不愿意花费72小时来构建，调试和测试一个，那么你仍然可以使用二进制堆来实现Dijkstra的算法;它只是将运行时间增加到O（m log n），因此这个版本的Johnson算法在O（mn log n）中运行。这不再总是比Floyd-Warshall渐近地快，因为如果m =Ω（n ² ）那么Floyd-Warshall在O（n ³ ）中运行，而Johnson的算法运行在O（n ³ log n）中。然而，对于稀疏图，其中m = o（n ² / log n），约翰逊算法的这种实现仍然比Floyd-Warshall渐近更好

简而言之：

• 使用Fibonacci堆，Johnson的算法总是渐近渐近至少和Floyd-Warshall一样好，尽管编码起来比较困难。
• 对于二进制堆，Johnson的算法通常渐近至少与Floyd-Warshall一样好，但在处理大而密集的图时不是一个好的选择。

希望这有帮助！

Answer 2

在所有节点上运行Dijkstra的复杂性将为O（EV + V ² logV）。如果E 3 ）。 V ²

Answer 3

这取决于。为所有节点运行Dijkstra会为您提供O(VE + V^2log V)，而Floyd则为O(V^3)。如果E = O(V^2)，则两者在理论上是相同的，而Floyd在实践中更快。如果你E = O(V)，那么在理论上和实践上都要运行Dijkstra所有节点。

基本上，如果您希望拥有与节点数量相同的边数，则从所有节点运行Dijkstra，如果您希望拥有几乎完整的图形，则运行Floyd。

Answer 4

实际上没有Floyd-Warshall比Dijkstra的所有对最短路径更快（通常!!）