Question

椭圆一般方程：

a * x ^ 2 + b * y ^ 2 + c * x * y + d * x + e * y + f = 0

Answer 1

我们可以从parametric的{{1}}等式开始（以下是维基百科），我们需要5个参数：中心ellipse或(xc, yc)在另一个表示法，轴长(h,k)以及x轴与长轴a, b或phi之间的角度在另一种表示法中。

tau

现在，如果我们想从xc <- 1 # center x_c or h yc <- 2 # y_c or k a <- 5 # major axis length b <- 2 # minor axis length phi <- pi/3 # angle of major axis with x axis phi or tau t <- seq(0, 2*pi, 0.01) x <- xc + a*cos(t)*cos(phi) - b*sin(t)*sin(phi) y <- yc + a*cos(t)*cos(phi) + b*sin(t)*cos(phi) plot(x,y,pch=19, col='blue')等式开始，那么这是一个两步过程。

将cartesian conic方程式转换为cartesian（polar），我们可以使用以下公式来首先使用下图中的5个方程式获得5个参数（取自http://www.cs.cornell.edu/cv/OtherPdf/Ellipse.pdf，可以在那里找到详细的数学。）
使用获得的参数绘制椭圆，如上所示。

对于步骤（1），我们可以使用以下代码（当我们知道parametric时）：

A,B,C,D,E,F

对于步骤（2），请使用以下代码：

M0 <- matrix(c(F,D/2,E/2, D/2, A, B/2, E/2, B/2, C), nrow=3, byrow=TRUE)
M <- matrix(c(A,B/2,B/2,C), nrow=2)
lambda <- eigen(M)$values
abs(lambda - A)
abs(lambda - C) 

# assuming abs(lambda[1] - A) < abs(lambda[1] - C), if not, swap lambda[1] and lambda[2] in the following equations:

a <- sqrt(-det(M0)/(det(M)*lambda[1]))  
b <- sqrt(-det(M0)/(det(M)*lambda[2]))
xc <- (B*E-C*D)/(4*A*C-B^2)
yc <- (B*D-2*A*E)/(4*A*C-B^2)
phi <- pi/2 - atan((A-C)/B)/2

Answer 2

另一个答案显示了当您知道椭圆的中心轴和主轴时如何绘制椭圆。但它们从一般椭圆方程中并不明显。所以在这里，我将从头开始。

省略数学推导，您需要从以下等式求解中心：

（oops：应该是“生成v”而不是“生成u”;我无法修复它，因为原来的LaTeX现在已经丢失，我不想输入再次...）

这是一个执行此操作的R函数：

plot.ellipse <- function (a, b, c, d, e, f, n.points = 1000) {
  ## solve for centre
  A <- matrix(c(a, c / 2, c / 2, b), 2L)
  B <- c(-d / 2, -e / 2)
  mu <- solve(A, B)
  ## generate points on circle
  r <- sqrt(a * mu[1] ^ 2 + b * mu[2] ^ 2 + c * mu[1] * mu[2] - f)
  theta <- seq(0, 2 * pi, length = n.points)
  v <- rbind(r * cos(theta), r * sin(theta))
  ## transform for points on ellipse
  z <- backsolve(chol(A), v) + mu
  ## plot points
  plot(t(z), type = "l")
  }

几条评论：

有参数a, b, ..., f的条件，以确保方程是椭圆而不是其他东西（比如抛物线）。所以，不要传递任意参数值来测试。实际上，从等式中你可以粗略地看到这样的要求。例如，矩阵A必须是正定的，因此a > 0和det(A) > 0;另外，r ^ 2 > 0。
我使用了Cholesky分解，因为这是我最喜欢的。然而，最美丽的结果来自特征分解。我不会在这方面进一步追求。如果您对此感兴趣，请阅读我的另一个答案Obtain vertices of the ellipse on an ellipse covariance plot (created by car::ellipse)。有很好的数字来说明Cholesky分解和特征分解的几何。

Answer 3

您可以使用我的软件包PlaneGeometry（希望很快在CRAN上使用）：

library(PlaneGeometry)

ell <- EllipseFromEquation(A = 4, B = 2, C = 3, D = -2, E = 7, F = 1)
box <- ell$boundingbox()
plot(NULL, asp = 1, xlim = box$x, ylim = box$y, xlab = NA, ylab = NA)
draw(ell, col = "yellow", border = "blue", lwd = 2)

在R中给出一般方程如何绘制椭圆？

3 个答案: