选择k个数字，最大化成对的总和xor

Question

给定范围[l, r]（其中l < r）和数字k（其中k <= r - l），我想选择一组S { {1}} k中的不同数字，可以最大化成对xors的总和。例如，如果[l, r]和[l, r] = [2, 10]并且我们选择k = 3，则xors的总和为S = {4, 5, 6}。

这是我到目前为止的想法：在d(4, 5) + d(4, 6) + d(5, 6) = 1 + 1 + 2 = 4中，对于每个位索引[l, r]小于或等于i中最高设置位的索引，该数字设置r的{​​{1}}中元素的数量等于S ^ S，其中i是j * (k-j)中j的元素数位设置。为了优化这一点，我们希望选择S，以便对于每个位i，S包含i个位置S的元素。对于k/2来说这很容易，但我仍坚持对i进行概括。

Answer 1

乍一看，这个问题似乎没有代数解决方案。我的意思是，这似乎是一个 NP-hard 问题（一个优化问题），在多项式时间内无法解决。

几乎总是可能的，人们可以通过可行的空间蛮力。

直观地说，我可以建议调查Locality Sensitive Hashing。在 LSH 中，通常会尝试查找两组之间的相似性。但在您的情况下，您可以在以下意义上滥用此算法。

• 该域名被细分为几个桶。
• 您在空间[l,r]中随机抽样。
• 高可能点（大汉明距离）被放置在水桶中。
• 最后你在最可能的桶中蛮力。

最后可以预期汉明距离较大的点应该在同一个邻域中（这就是名称​​ Locality Sensitive Hashing ）的原因。但是，这只是一个想法。