QR算法重复特征值

Question

QR算法可以找到重复的特征值（https://en.wikipedia.org/wiki/QR_algorithm）吗？即当真实矩阵N x N的所有N个本征值不同时，它是否支持这种情况？

如何扩展QR算法以支持查找复杂的特征值？

Answer 1

原则上是的。如果特征值实际上都是特征值，那么它将起作用，即代数和几何多样性是相同的。

如果多个特征值出现在大小为s的Jordan块中，则迭代期间不可避免的浮点误差几乎肯定会导致星形扰动进入特征值簇，其大小相对误差为{ {1}}其中mu^(1/s)是浮点数据类型的机器常量。

发生这种情况的原因是，在对应于大小为mu的Jordan块的不可约不变子空间上，线性算子对该子空间的简化的特征多项式为s。在计算过程中，这会被(λ-λ[j])^s扰乱，(λ-λ[j])^s+μq(λ)在第一次近似中的根已接近λ[j]+μ^(1/s)*z[k]，其中z[k]表示s的{​​{1}}根。扰动函数0=z^s+q(λ[k])的含义是相当随机的累积浮点截断误差，并且取决于方法的细节。