Question

我正在阅读Skiena的“算法设计手册”一书中的“8.1.1斐波纳契数字递归”部分。

我无法理解本节的以下段落。

此算法花费多少时间来计算F（n）？由于Fn + 1 /Fn≈ φ=（1 +√5）/2≈1.61803，这意味着Fn> 1。 1.6 ^ N。由于我们的递归树有只有0和1作为叶子，总结到如此大的数字意味着我们必须有至少1.6n离开或程序调用！这个简陋的小程序需要指数时间才能运行！

任何人都可以从这一段解释我的以下问题。

为什么Fn + 1 / Fn用于计算算法时间？
为什么Fn＆gt; 1.6 ^ N
我们如何获得1.6n离开或程序调用？

请举例说明为F（4）

Answer 1

这是我对我的问题的回答。如果使用递归计算斐波纳契数，则计算时间为F(N)+F(N-1)+F(N-2)+...+F(1) = F(N+2)-2 = O(F(N+2)).
Binet's Formula证明F(N) nearly equal sqrt(1/5) * φ^N，此公式也证明了这一点。

F（k + 1）/ F（k）几乎等于φ。
如果你检查小k，你可以证明F（k）> = 1.6 ^ k。

但我建议计算这个算法的斐波纳契数。

1。使用动态编程
Fibonacci Sequence可以计算动态编程，时间为O（N）。
很明显，因为存在关系F（N）= F（N-1）+ F（N-2）。

2。使用矩阵指数
实际上，( (1 1) (1 0) )^N = ( (F(N+2) F(N+1)) (F(N+1) F(N)) ).
如果使用逐算子逐算法，则可以计算其O（log N）的值，因此可以计算O（log（N））的F（N）。

总之，Binet的公式并不好，因为它使用浮点值，因此会导致精度误差。
我建议使用动态编程或矩阵指数可以解决这个问题。

Answer 2

我在答案的第一部分从n切换到m。

F（m + 1）/ F（m）是用于获得F（m）的近似值而不是时间的比率。从m> = 1开始，随着m增加，比率F（m + 1）/ F（m）快速收敛于φ=（1 + sqrt（5））/ 2~ = 1.61803。这可以重写为F（m + 1）〜=φF（m）。然后F（m + 2）〜=φF（m + 1）〜=φ（φF（m））〜=φ^ 2 F（m），一般F（m + k）〜=φ^ k F（m），m> = 10的合理近似值，如本答案末尾的表中所示。该段然后突然跳跃到F（n）> 1.6 ^ n，仅在n> = 72时才为真。

段落然后解决递归树，它只涉及添加，并注意到递归树的叶节点只返回0（F（0））或1（F（1）），所以你至少需要1.6 ^ n（不是1.6n）叶节点（返回1的1.6 ^ n叶节点）以产生总和> = 1.6 ^ n。（再次注意，F（n）> 1.6 ^ n仅对n> = 72）为真。

对于更快的算法，Lucas序列方法类似于通过平方方法的优化矩阵求幂。 64位无符号整数的最大值是fib（93）== 12200160415121876738（在下面的代码中需要7个循环）。

/* lucas sequence method */
uint64_t fib(uint64_t n) {
    uint64_t a, b, p, q, aq, qq;
    a = q = 1;
    b = p = 0;
    while(1){
        if (n & 1) {
            aq = a*q;
            a = b*q + aq + a*p;
            b = b*p + aq;
        }
        n >>= 1;
        if (n == 0)
            break;
        qq = q*q;
        q = p*q*2 + qq;
        p = p*p + qq;
    }
    return b;
}

使用F（100）作为测试用例与m（10,20,30,40）的值，来了解近似值F（m + k）〜=φ^ k F（m）的准确度。）。

F(100)/(φ^90 F(10)) ~= 1.0000661
F(100)/(φ^80 F(20)) ~= 1.00000000437
F(100)/(φ^70 F(30)) ~= 1.000000000000289
F(100)/(φ^60 F(40)) ~= 1.0000000000000000191

斐波那契算法花费多少时间来计算F（n）

2 个答案: