Question

如果我有一个矩形矩阵C，带有线性独立行，（在帖子底部的第一个观察中查看其预期数值的信息），其dimmension为qxn，使得q<=n我希望生成几个方形可逆矩阵T=[C;R]。

这里重要的一点是矩阵T应该有条件（条件数接近1 ）。

我编写了一个代码，以非常有效的方式解决了这个问题：

 clear all
 C=[1 0]; %example
 tol=0.1;

 n=size(C,2);
 q=size(C,1);

 singularity=1;
 it=0;
 while(singularity==1)
    a=-5;
    b=5;
    R=a + (b - a) .* rand(n - q, n); %generates randomic R matrix with numerical values beetwen 'a' and 'b'
    M=[C;R];
    if(abs(cond(M)-1)<tol) %cond(M) computes the condition number of M
        singularity=0;
    end
    it=it+1;
end

考虑C=[1 0]算法会在700~2k次迭代的范围内收敛（但是，由于指令很简单，因此进程运行得非常快。）

现在，考虑C=[1 0 0]我被迫打破处理，因为迭代超过2kkk。

观察：我的矩阵C的值的数值通常是小的正整数（从1到10），从0到5的小的racional数字和零。

重要：对于一个给定的矩阵C我不只需要一个矩阵R，这将使M条件良好。在我的应用程序中，对于给定的R，我将需要几个矩阵C（我想要多少），这就是为什么我试图生成R随机的，但不幸的是在一个非常低效的方式。

备注：当然我可以找到一个R使得M条件良好，然后其他条件良好的矩阵可以是前一个的多个，但我想尝试其他方法。

Answer 1

一种方法是使用C＆＃39;的qr分解。（C转置）这样

C' = Q * ( R )
         ( 0 )

其中R是qxq上三角和非奇异，Q是正交的。然后对于任何非奇异（n-q）x（n-q）矩阵B和任何q x（n-q）矩阵A

Q * ( R A ) 
    ( 0 B )

将是非单数的，并且与C＆＃39;具有相同的第一个q列，因此您的转置就是您想要的。

为了分析条件数，我认为将A变为零是最简单的，因为我们有

|| D || = || R || + || B || 
|| inv(D) || = || inv(R) || + || inv( B) ||
where
D = ( R 0 )
    ( 0 B )

完成矩形矩阵以产生几个方形可逆的良好条件矩阵

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