无限减法循环

Question

问题是这样的：

假设a，b两个整数， 如果我们可以无限地重复以下函数，我们说（a，b）是无限的：

if a > b :
          a=a-b
          b=2*b
if b > a :
          b=b-a
          a=2*a

和＆＃39; a＆＃39;永远不会等于＆＃39; b＆＃39;在任何迭代中。

有没有办法测试两个整数是否无限而不求助于循环？

示例1：a = 1，b = 4

  (1, 4) -> (2, 3) -> (4, 1 -> (3, 2) -> (1, 4) and so on ===> Infinite

示例2：a = 3，b = 5

  (3, 5 -> (6, 2) -> (4, 4) ====> Not Infinite

Answer 1

让我们按如下方式重写你的功能：

a=|a-b|
b=2*min(a,b)

现在我们可以看到，如果a和b之间的差异是奇数，那么a在下一轮将是奇数（我们只是说差异是奇数），并且b将是偶数（2*k始终是偶数）。因此，在下一次迭代中，差异将是奇数，并且在将来的所有迭代中，a将永远不会等于b，并且该对是“无限”。

如果a和b之间的差异是偶数，那么对于所有未来的迭代（通过类似的逻辑）都是如此。要处理这种情况，让我们从最终状态向后工作。如果该对是有限的，那么迭代过程的结束将产生一对(k,k)。因此，先前迭代中的较小整数为k/2，因此较大的整数为3k/2：(k/2,3k/2)。继续向后执行该过程，之前的步骤为(k/4,k/4+3k/2)=(k/4,7k/4)，前面是(k/8,k/8+7k/4)=(k/8,15k/8)。如果我们抽象出这种模式，我们可以看到(m,(2^n-1)m)（任何n）形式的任何一对都是有限的。

这不是一个完整的证明，但我相信，当且仅当该对中的一个成员是另一个成员并且值小于2的幂时，偶数差异对是有限的。如果你能找到一个反例，请告诉我。

这是我过去得出结论的蛮力过程的开始：

(1,1) <- impossible
(2,2) <- (3,1)
(3,3) <- impossible
(4,4) <- (6,2) <- (7,1)
(6,6) <- (9,3)
(8,8) <- (12,4) <- (14,2) <- (15,1)
(10,10) <- (15,5)
(12,12) <- (18,6) <- (21,3)
(14,14) <- (21,7)
(16,16) <- (24,8) <- (28,4) <- (30,2) <- (31,1)
           [*3]      [*7]      [*15]     [*31]
(18,18) <- (27,9)
(20,20) <- (30,10) <- (35,5)

谢谢，这很有趣。

Answer 2

考虑函数的前半部分，其中a> b。如果迭代后这仍然是迭代，我们有：

对于某些“n”，“无限”条件是 _n = b _n 。所以

当一些 _k ＆lt; _k 时，函数的后半部分只是交换（a，b）。 B'的子>ķ

a0 < b0(1+2k+1)

如果 ₀ 是b ₀ 的倍数，并且某些因素（1 + 2 ^{k + 1} ）数 'k'。

这是另一个问题。当a = 2 ^k ·b时，您可以丢弃任何对（a，b）。你只需要测试几个k而一个＆gt; 2 ^k ·b

注意

我没有检查过我的所有数学。您可能会发现错误。一般的想法仍然存在。

注2

@Nvioli发现了一个错误。正确的因素是（2 ^{k + 1} -1）