基本时间复杂度？

Question

考虑这三个循环

O（N ^ 2）

int i = 0, s = 0;
while (2*i <= N*N) {
s+=i;
i++;
}

O（N）

int i = 0, s = 0;
while (s <= N*N) {
s+=i;
i++;
}

O（SQRT（N））

int i = 0, s=0, p=1;
while (s < N) {
i++;
p = p*i;
s += i;
}

第一个的时间复杂度是O（N ^ 2），但第二个是O（N）（对我来说，似乎N ^ 2会更合适）。怎么会？另外，为什么循环三个sqrt（N）而不是log（N） - 我怎么能区分它？

Answer 1

第二个： 假设迭代将为k，然后循环将重复：

1+2+3+...k <= N^2 --> k*(k-1)/2 <= N^2 --> k^2 <= N^2 --> k is O(N).

第三个： 假设迭代将为k，然后循环将重复：

1+2+3...+k <= N -->...--> k^2 <= N --> k is O( sqrt(N) ).