所有边缘的边缘容量增​​加1后，图表的最小切割是否相同？

Question

令G =（V，E）为任意流网络，每个边e具有源s和目标t以及正整数容量c（e）。设（S，T）是相对于这些容量的最小s-t切割。现在假设我们将每个边缘的容量增加一个，即所有边缘的c_new（e）= c（e）+ 1，那么（S，T）相对于这些新容量{c_new}仍然是最小的切割？

我的直觉是，如果G包含不同容量的边缘，增加的容量可能导致不同的最小切割。但是当所有边缘具有相同的容量时，最小切割将保持相同。

我说错了吗？怎么证明这个？

Answer 1

是的，你的直觉是正确的。

当G包含不同容量的边时，将每个边的容量增加1 可能会更改最小切割。通过示例可以很容易地证明这一点，如下所示。最小切割（红色）具有容量3.增加每个边缘的容量增加，切割为6.因此从S到A的连接成为容量为5的新的最小切割。

当所有边缘具有相同的容量时，将每个边缘的容量增加1 将不会更改最小切割。证明背后的基本思想是切割的容量为nc，其中n是切割的边数，c是每条边的容量。由于c是常量，因此最小割数是最小n。我们将该最小值称为N。

现在，如果每条边的容量增加1，则每次切割的新容量为n(c+1)。因此，曾经是最小削减的新削减能力是N(c+1)。假设存在容量大于N(c+1)的剪切：由于所有边都具有权重c+1，因此对于某些M，此剪切必须为M > N - 边缘剪切。但是在原始图表中，同样的切割将具有容量Mc > Nc，这与N - 边缘切割在那里是最优的假设相矛盾，因此不存在这样的M - 边切割，这意味着N - 边缘剪切（现在有容量N(c+1)）在新图中保持最佳状态。

Answer 2

如果所有边缘容量增​​加一个常数，则最小切割量相同。如果图中的边缘容量相同。否则可能会改变。

一个简单的解释是 -

我们使用BFS通过dinic算法计算最小割/最大流量。我们从源到接收器应用bfs，并在bfs路径中对最小容量/瓶颈容量边缘进行替换。我们添加了这个边缘wt。流动。我们继续这样做，直到从源头到下沉没有路径。

如果要将边缘容量增​​加一个常数，则切割将始终保持不变。由于此算法的所有迭代中的BFS路径都是相同的。只有最大流量值才会改变。

Answer 3

如果所有边的容量相同，则问题等于： “ 如果所有边缘容量都乘以一个正数，则最小削减保持不变。（A）” 证明（A）很容易。这个问题应该是（A）的特例，其中所有边缘容量都乘以 c + 1 / c < / strong>。