我如何在agda中实现正数

Question

所以我试图定义一组正自然数{1,2,3，... 。 。} AGDA。

data Nat : Set where
 one : Nat
 succ : Nat -> Nat
{-#BUILTIN NATURAL Nat #-}

这就是我做到的，但它仍然需要0。

你如何让它从1开始？

Answer 1

Agda允许通过FROMNAT内置函数

重载数字文字

open import Agda.Builtin.Nat
open import Data.Empty
open import Data.Unit.Base

Positive : Nat -> Set
Positive zero = ⊥
Positive _    = ⊤

data Nat₁ : Set where
 one  : Nat₁
 succ : Nat₁ -> Nat₁

toNat₁ : ∀ n {_ : Positive n} -> Nat₁
toNat₁  0 {()}
toNat₁  1            = one
toNat₁ (suc (suc n)) = succ (toNat₁ (suc n))

{-# BUILTIN FROMNAT toNat₁ #-}

fail : Nat₁
fail = 0

ok : Nat₁
ok = 1

此处Positive n是n为0时不可满足的约束，n为正时则无法满足。所以在fail中，约束计算到⊥，你得到一个未解决的这种类型的元，这是不可能解决的（假设类型系统是一致的），因为这种类型是无人居住的。