有效地找到前n个素数

Question

我有一个蛮力算法，它接受一个输入n，并显示前n个素数。代码有效，但我也必须回答这个问题：

  

提供确保正确性所需的测试项目数。

有没有办法计算这个？我在技术上是否需要测试每个可能的int值（所有20亿种可能性）？

Answer 1

如果你有一个数字 n ，并且需要检查它是否是素数，那么有比蛮力更有效的方法。

一种方法是使用Miller-Rabin Primality Test。 Miller-Rabin测试要么找到证明数字是复合数，要么找不到证明（它不直接证明数字是素数）。所以该计划将是：

1. 最多运行Miller-Rabin k 次（或直到它发现该数字是复合数）

2. 如果Miller-Rabin声称这是一个可能的素数，请进行蛮力检查

Miller-Rabin跑as follows。显然，你只需要测试奇数 n ，所以 n - 1 是偶数，你可以写 n - 1 = 2 ^s d 表示某些正 s 和正奇数 d 。从（0，n - 1）范围中随机选择 a 。如果 a ^d ≠1 | n 和 a ^{2 r d} ≠-1 | n ，然后 n 是一个复合词。

如果 n 是一个复合词，那么米勒 - 拉宾的 k 迭代不能证明这一点的概率小于 4 ^-k功能 的。请注意，Prime Number theorem，素数很少。

Miller-Rabin的 k 应用程序的计算复杂性，即使有一个简单的实现is，也是 O（k log ³ （n））的