是O（（log n）！）多项式？

Question

我想找O((log n)!)。我认为O((log n)!)和O(n!)是平等的！因为我认为当n是无穷大(log n)!且n!相等时。这是真的吗？如果是，我该怎么表明？如果不是O((log n)!)多项式？

Answer 1

我认为你的后续问题是(logn)!是否是多项式限制的。这显然不是多项式本身。 斯特林的逼近给了我们

n!≤en^[n+1/2]*e^(−n)

所以，

(log n)!≤e(log n)^[1/2+log n]*e^(−log n)

现在(log n)^log n=(e^loglogn)^logn=e^[(logn)⋅(loglogn)]

因此，增长的顺序约为e^[(logn)(loglogn)−logn] =n^[(loglogn)−1]

遗憾的是，这不受任何多项式的限制，因为loglogn最终会超过任何正整数。

例如，将(log n)!与n^2进行比较。

n=e^10,(log n)!=3480，(e^10)2≈4.85×108

n=e^100,(log n)!≈10157 ，e^200≈1086

Answer 2

由于已经完成了正确的数学运算，让我为任何给定的O(log(n)!) > O(n^c)添加更直观的解释为什么c。我们假设对数是基数2，为简单起见，选择c为10.（该参数对于不同数量的一般值也同样有用）。

那么，为什么log(n)!会比n^10更大？我们来看看这两个功能＆＃39;功率为2的值，更具体地说，它们与2的最后一次幂相比增长了多少。（从现在开始n = 2^p）

log(2^p)! = p * log(2^(p-1))!，(2^p)^10 = 2^10 * (2^(p-1))^10。这可能看起来很复杂，但它告诉我们log(n)!函数会将p的{​​{1}}幂2的值乘以p，但n^10 1}}仅将1024乘以它的值，因此log(n)!最终会变得越来越大。

此外，log(n)!比任何指数增长都慢，类似的参数可以通过观察当n增长1时两个函数乘以它们的值来做出多少。

Answer 3

让我们回到一些基本的数学：
我们知道如果log a＆gt; log b，则a> b :( log base大于1）
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现在我们知道 log（N！）= NLogN （see here for proof））

并持有相同的参数，我们得到， log（（log N）！）= logN logLogN
因为，
log（N！）是多项式，log（（log N）！）是对数阶，
显然， O（N！）> O（（logN）！）
希望这有帮助。

Answer 4

使用Stirling's approximation说明$ n！ 〜\ sqrt {2 \ pi n} \ frac {n} {e} ^ n（1 + O（frac {1} {n}））$，并使用$ \ log {n} $的相同公式，可以检查$ n！对于$ \ log {n}，$的主要因素是$ n ^ n $！ $相同的因子变为$ \ log {n} ^ \ log {n} $。通过使用$ \ ln {n} \ leq n - 1 $的事实，我相信你可以很容易地证明$ O（\ log {n}！）$小于$ O（n！）$。