在下面的代码中,为什么Pi分为三个常数P1,P2和P3?有一些相关的数学理论吗?如果它是为了提高r的计算精度,我运行代码的精度更高但没有任何改进而不仅仅是Pi。(来自gsl / specfunc / trig.c:576的代码)
const double P1 = 4 * 7.85398125648498535156e-01;
const double P2 = 4 * 3.77489470793079817668e-08;
const double P3 = 4 * 2.69515142907905952645e-15;
const double TwoPi = 2*(P1 + P2 + P3);
const double y = 2*floor(theta/TwoPi);
double r = ((theta - y*P1) - y*P2) - y*P3;
答案 0 :(得分:4)
C中的测试程序
#include<math.h>
#include<stdio.h>
double mod2pi(double theta) {
const double P1 = 4 * 7.85398125648498535156e-01;
const double P2 = 4 * 3.77489470793079817668e-08;
const double P3 = 4 * 2.69515142907905952645e-15;
const double TwoPi = 2*(P1 + P2 + P3);
const double y = 2*floor(theta/TwoPi);
return ((theta - y*P1) - y*P2) - y*P3;
}
int main() {
double x = 1.234e+7;
printf("x=%.16e\nfmod =%.16e\nmod2pi=%.16e\n",x,fmod(x,2*M_PI), mod2pi(x));
return 0;
}
的多精度结果进行比较
RR := RealField(100);
pi := Pi(RR);
x := 1.234e+7;
n := 2*Floor(x/(2*pi));
"magma =",RR!x-n*pi;
结果
x=1.2340000000000000e+07
fmod =6.2690732008483607e+00
mod2pi=6.2690732003673268e+00
和
magma = 6.269073200367326567623794342882040802035079748091348034188201251009459335653510999632076033999854435
表明确实更高的努力会带来更精确的结果。
出于某种原因,开发人员决定不直接分割pi/4
但基于10*pi/4=5/2*pi
的位,如下表所示,其中顶行是{的长版本的位{1}}而接下来的三个是常量的二进制表示乘以5/2*pi
。
10
基于111 11011010100111101000101001010101010011100001011110010110000011111010111110
111.1101101010011110100001
0.00000000000000000000011001010101010011100001
0.000000000000000000000000000000000000000000000111100101100000
的拆分,每个部分使用25位
pi/4
并将导致常量
0.1100100100001111110110101010001000100001011010001100001000110100110001001100
0.1100100100001111110110101
0.00000000000000000000000000100010001000010110100011
0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000100011010011000100110
这个想法是整数倍const double P1 = 4 * 7.85398155450820922852e-01;
const double P2 = 4 * 7.94662735614792836714e-09;
const double P3 = 4 * 3.06161646971842959369e-17;
的{{1}}是精确的,因此连续的减少会删除前导相同的位而不会丢失精度。本质上,53位尾数的输入参数通过填充零(实际上)扩展到75位尾数,然后这个数字精确地减少2^27
的倍数。取消最多22个前导位不会导致精度损失。