Question

目标

我想编写一个算法（在C中），该算法返回TRUE或FALSE（1或0），具体取决于数组{{ 1}}输入中给出的“和和/或子”可以A（见下面的说明）。请注意，x的所有值都是在[1，x-1]之间的随机（均匀）采样的整数。

澄清和示例

“sum和/或sub”是指将“+”和“ - ”放在数组的每个元素前面并求和。我们称这个函数为A。

SumSub

应该返回int SumSub (int* A,int x) { ... } SumSub({2,7,5},10)为7-2 + 5 = 10。您会注意到TRUE的第一个元素也可以视为否定，因此A中元素的顺序无关紧要。

应该返回SumSub({2,7,5,2},10)，因为无法“汇总和/或分配”FALSE的元素以达到array的值。请注意，这意味着必须使用x的所有元素。

复杂性

让A为n的长度。如果必须探索所有可能的加号和减号组合，问题的复杂性为O（2 ^ n）。但是，某些组合比其他组合更有可能，因此值得首先探讨（希望输出为A）。通常，需要从最大数字中减去所有元素的组合是不可能的（因为TRUE的所有元素都低于A）。另外，如果x，尝试添加n>x的所有元素是没有意义的。

问题

我该如何写这个函数？

Answer 1

不幸的是，您的问题可以缩短为subset-sum problem，即NP-Complete。因此，无法避免指数解。

Answer 2

正如你所说，原始问题的解决方案确实是指数级的。但是对于A []中的数字，给定范围[1，x-1]，您可以使解多项式。有一个非常简单的动态编程解决方案。

订单：

时间复杂度：O（n ^ 2 * x）

记忆复杂度：O（n ^ 2 * x）

其中，n = A []

中的元素数量

您需要为此

使用动态编程方法

您知道可以在[-n x，n x]范围内进行的最小，最大范围。创建一个大小为（n）X（2 * n * x + 1）的二维数组。让我们称之为dp [] []

dp [i] [j] =从[0..i-1]获取A []的所有元素是否可以使值j

所以

dp [10] [3] = 1意味着取A []的前10个元素我们可以创建值3

dp [10] [3] = 0表示取A []的前10个元素我们不能创建值3

这是一种伪代码：

int SumSub (int* A,int x)
{
    bool dp[][];//set all values of this array 0
    dp[0][0] = true;
    for(i=1;i<=n;i++) {
        int val = A[i-1];
        for(j=-n*x;j<=n*x;j++) {
            dp[i][j]=dp[ i-1 ][ j + val ] | dp[ i-1 ][ j - val ];
        }
    }
    return dp[n][x];
}

Answer 3

不幸的是，即使x被限制为0，这也是NP完全的，所以不要期望多项式时间算法。为了说明这一点，我将简单地从NP-hard Partition Problem中进行简化，它会询问给定的多正整数是否可以被分成具有相等和的两个部分：

假设我们有一个由n个正整数B_1，...，B_n组成的分区问题实例。从此创建一个问题实例，其中A_i = B_i，每个1＆lt; = i＆lt; = n，并设置x = 0。

显然，如果将B分区分为两个部分C和D具有相等的总和，那么还有一个问题实例的解决方案：在C中的每个数字前放一个+，在D中的每个数字前面-（或反过来）。由于C和D具有相等的和，因此该表达式必须等于0。

OTOH，如果我们刚刚创建的问题实例的解决方案是YES（TRUE），那么我们可以轻松地将B的分区创建为具有相等总和的两个部分：将所有正项放在一个部分中（比方说，C）和所有负面的术语（当然没有前面的-）（比方说，D）。由于我们知道表达式的总值为0，因此必须是C中（正）数的总和等于D中数字的（否定）总和。

因此对任一问题实例的YES表示对另一个问题实例的YES，这反过来暗示对任一问题实例的NO意味着对另一个问题实例的NO - 即两个问题实例具有相同的解决方案。因此，如果有可能在多项式时间内解决您的问题，那么通过构造上述问题实例，使用您的多时间算法求解它并报告，也可以在多项式时间内解决NP难分区问题。它给出的结果。

数组“和和/或子”是否为“x”？

3 个答案: