完整图形组件的数量

Question

给出无向图。如何检查是否可以将其分为两组，其中一组中的每个节点都连接到其自身组的每个其他节点（完整图形）。集合可以是空的，也可以只有一个节点。不应该留下任何节点。 感谢。

编辑：不禁止两组之间的边缘。

基本上我们必须检查图表是否可以分为两个派系

Answer 1

正如@Damien评论的那样，检查给定图的顶点是否可以划分为两个集团实际上是clique cover的决策问题，其中k = 2.对于一般k（即使对于k = 3），已知clique cover问题是NP完全的。对于k = 2，根据下面的观察，存在O（n ² ）算法。

  

给定图G =（V，E），将其补码表示为G'。然后，当且仅当G'是2可着色时，V可以被分成两个派系。

证明很简单，因此在此省略。算法草图如下所示。

01. construct G' from G;
02. if G' is bipartite
03.   return true;
04. else
05.   return false;

注意第一行需要O（n ² ）时间，而测试G'是否为二分仅需要使用BFS的O（n + m）时间，其中n是顶点数和m是边缘的＃。因此，总复杂度为O（n ² ）。