Question

As a follow-up to What is Axiom K?, I'm wondering what happens when you use Agda with the --without-k option. Is the result less powerful? Is it a different language or do all previous programs still type check?

Answer 1

Martin-Löf型理论和Axiom K的情况在某种程度上类似于欧几里德几何和平行假设。用平行假设可以证明更多的定理，但那些只是关于欧几里德空间。没有平行假设可证明定理也适用于非欧几里德空间，并且可以自由地添加明确的非欧几里德公理。

Axiom K粗略地说，平等证明不带有非平凡的信息，也没有计算内容。它在逻辑上等同于以下两个陈述：

-- uniqueness of identity proofs
UIP : {A : Set}(x y : A)(p p' : x ≡ y) → p ≡ p'

-- reflexive equality elimination
EqRefl : {A : Set}(x : A)(p : x ≡ x) → p ≡ refl

当然，--without-K无法解决这两个问题。我在这里给出了一些更具体的陈述，这些陈述在没有K的情况下是无法证明的，而且一见钟情就看似违反直觉：

{-# OPTIONS --without-K #-}

open import Relation.Binary.PropositionalEquality
open import Data.Bool
open import Data.Empty

-- this one is provable, we're just making use of it below
coerce : {A B : Set} → A ≡ B → A → B
coerce refl a = a

coerceTrue : (p : Bool ≡ Bool) → coerce p true ≡ true
coerceTrue = ? -- unprovable

data PointedSet : Set₁ where
  pointed : (A : Set) → A → PointedSet

BoolNEq : pointed Bool true ≡ pointed Bool false → ⊥
BoolNEq = ? -- unprovable

Axiom K看似直观，因为我们用单个refl构造函数定义了Agda的命题相等性。为什么甚至打扰神秘的非refl平等证明，如果没有K，我们不能反驳它们的存在？

如果我们没有公理K，我们可以自由地添加与K相矛盾的公理，使我们能够大致概括我们的类型概念。我们可以假设单价公理和高归纳类型，它们基本上为我们提供了Homotopy Type Theory书的类型理论。

回到欧几里得的类比：平行假设假定空间是平的，所以我们可以证明依赖于空间平坦的东西，但不能说任何关于非平坦空间的东西。 Axiom K假设所有类型都有平凡的等式证明，所以我们可以证明依赖于它的陈述，但是我们不能有具有更高维度结构的类型。非欧几里德空间和高维类型都有一些奇怪的因素，但它们最终是丰富而有用的思想来源。

如果我们转向“书”同伦类型理论，那么“具有平凡的平等”就成了我们可以在内部讨论的属性，并证明它适用于具有该属性的特定类型。

Is Agda without K less powerful?

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