墙上可以布置砖块的总方式是多少？

Question

有一面大小为4xN的墙。我们有无数个大小为4x1和1x4的砖块。砖在墙上的排列方式总数是多少，每次都会出现新的配置？

对于N = 1，砖块只能以1格式铺设。对于N = 7，我们可以铺设砖块的方法之一是

为N = 7

安排砖块的方法有5种

我使用动态编程解决了这个问题：

static int computeBricks(int n)
{
    if(n <= 3) { return 1; }

    int[] table = new int[n+1];

    table[0] = 1;
    table[1] = 1;
    table[2] = 1;
    table[3] = 1;

    for(int i = 4; i <= n; ++i)
    {
        table[i] = table[i-1] + table[i-4];
    }

    return table[n];
}

但它只是一个组合：猜测+直觉。我完全不明白这个解决方案。为什么table[i] = table[i-1] + table[i-4]？

它看起来不像硬币更换问题吗？

使用a种硬币更改金额n的方法数量等于： 使用除第一种硬币之外的所有硬币更改金额a的方法数量，以及使用所有a - d种硬币更改金额n的方法数量，其中{{1}是第一种硬币的面额。

但我也不明白我们如何使用这个想法解决原始问题

Answer 1

为了完成，您可以使用简单的计数技术，无需算法。

你有N个点。你有两种方法可以填充斑点：一次一个（垂直砖块），或一次填充4个连续点（水平砖块）。您可以重新表述：这是K个K垂直砖中N/4堆4个水平砖（N-(3*K)介于0和choose(n, k)之间）的数量（对于每堆4个水平砖，与1个垂直砖相比，你会失去3个点 - 这就是你的[n-4]在原始算法中的来源。）

让我们用一个例子来说明。首先，我在下面使用的符号N = 15是数学combination“n选择k”，即

现在让我们来看看这个例子吧。你可以用K = 0点做什么？

• 您有VVVVVVVVVVVVVVV堆水平砖（H）和15个垂直砖（V）：choose(15, 0) = 1。这样做的方法有K = 1

• 或者您可以将VVVVHVVVVVVV H放置在某处（通过将4 V替换为1 H而丢失三个点）：choose(15-3, 1) = choose(12, 1) = 12。这样做的方法有K = 2

• 或者您可以放置​​VVHVVVVVH H（通过将8 V替换为2 H而丢失6个点）：choose(15-6, 2) = choose(9, 2) = 36。这样做的方法有K = 3

• 或者您可以放置​​HVVHHV H（通过将3 V替换为3 H而丢失9个点）：choose(15-9, 3) = choose(6, 3) = 20。这样做的方法有max K = 15/4 = 3

就是这样，你已达到最大水平桩数（1+ 12 + 36 + 20 = 69）。然后，您只需总结所有这些，以获得填补这些位置的总方式： Context initCtx = new InitialContext(); javax.persistence.EntityManager entityManager = (javax.persistence.EntityManager)initCtx.lookup( "java:comp/env/avaliacaoneomind" ); 。

以下是直接从这个解释中得出的通用公式：

最终导致：

Answer 2

如果列数少于4列，显然只有一种方法可以排列砖块：

1, 12, 123
1, 12, 123
1, 12, 123
1, 12, 123

但是，有两种方法可以为第4列排列砖块 方法1 - 只需将列添加到3列的正确解决方案中：

1234
1234
1234
1234

方式2 - 删除现有的三列并放置四个水平砖：

1111
2222
3333
4444

相同的逻辑适用于所有后续列 - 您可以对N-1进行所有正确的排列并为每个列添加一列或对N-4进行所有正确的排列并水平放置四个砖。
解决方案很简单，因为问题的一个推导 - 你可以放置4个水平砖或4个垂直砖，因为放置1个水平砖将使垂直不可能，反之亦然。
如果墙壁仍为4xN，则此任务将更加困难，但砖块为2x1和1x2。

Answer 3

  f(n) = f(n-1) + f(n-4)  if n >= 4 <p>
  f(n) = 1 if 0  <= n < 4