多项式简化：其他多项式的多项式？

Question

考虑下面的每个函数，例如f，f2，f3和f4，基数为I.我们如何表达每个f，使得f_i = \ sum a_i I_i和每个a_i \ geq 0？

实施例

  

我们用M2和Mathematica演示下面的多项式。

     

Macaulay2：

i1 : R=RR[x1,x2,x3,MonomialOrder=>Lex]; 
f=x3-x1*x2;
f2=x3*x2-x1;
f3=x1-0.2;
f4=x1-x3+0.8;

i5 : I=ideal(x1-0.2,-x1+0.5,x2,-x2+1,x3-1,-x3+1); G=gb(I);

     

我们可以用I的元素来表达f3，即用第0个术语

i11 : I_0==f3

o11 = true

     

我们可以用I_5和I_0

来表达f4

i17 : I_5+I_0==f4

o17 = true

     

我们可以用I表示f和f2吗？

           

Mathematica： f和f-2不能用I表示，但f-1可以用I表示，但是否定词则不能使用Handelman定理。

     

     

但是

     

  

• f-2不是非负数（选择x3 = 1，x1 = 2，所以1-0-2 = -1 <0）

  

• f为非负数（x3 = 1，因此1-x1x2> 0）和

  

• f-1不是非负的（x3 = 1，x2> 0，所以-x1x2 <0）。

  

     

和Handelman's theorem，所有计算都是不确定的，因为第三项-x1是负数。有关Mathematica方面的更多信息here。

我们如何用其他多项式表达多项式，并且每个商项都是正数，如Mathematica中的PolynomialReduce，但每个商用项都是正数？

Answer 1

请注意，在这个答案中，我使用的是您的术语，其中R是多项式环，RR是实数环。我还要说，几乎永远不要使用环RR，因为macaulay2中对实数的计算并不总是可靠的，所以请始终使用有理QQ环或像QQ /（101）这样的正特征字段。

您的f和f2多项式不是线性的，因此您甚至不能将它们写成I_0,...,I_5的线性组合（即I的生成器）。 此外，您定义的理想I包含一个标量，因此它被数学家称为单位理想。这意味着I=R，即整个多项式环。 因此，您可以将f和f2写成I_0,...,I_5的组合，但不能写成线性的组合。 这意味着f = \sum g_i I_i与g_i多项式，其中至少一个不是数字。

备注。对于任意环R，元素通常称为标量，但是当R是多项式环时，假设R=RR[x_1,...x_n]则通常是常数多项式（正好是实数，即RR的元素）被称为标量。这只是一个普通的术语，当然会造成混淆。

这里是一个例子，

i2 : R=QQ[x_1,x_2]

o2 = R

o2 : PolynomialRing

i3 : I=ideal(x_1-1,x_2,x_1+1)

o3 = ideal (x  - 1, x , x  + 1)
             1       2   1

o3 : Ideal of R

i4 : I == R

o4 = true

i5 : J = ideal(x_1,x_2)

o5 = ideal (x , x )
             1   2

o5 : Ideal of R

i6 : J == R

o6 = false

您会看到理想I具有x_1-1,x_2,x_1+1，因此元素(x_1+1)-(x_1-1) = 2也属于I，因此I具有一个单位为常数的多项式元素（环中的单位元素是具有相反元素的元素），表示I=R。要证明这一事实，请访问https://math.stackexchange.com/questions/552173/if-an-ideal-contains-the-unit-then-it-is-the-whole-ring

另一方面，J没有任何常数多项式，因此J不是整个环R。