阅读Bartosz＆＃39;优秀的Category theory for Programmers，我陷入了第二个练习，这个练习处理的是posets中的产品。鉴于一个明信片，
b e
↗ ⤭ ↘
a → c f → h
↘ ⤭ ↗
d g
如何在分类意义上定义产品？什么是两个对象的产品分类？那副产品呢？
答案 0 :(得分：18)
让我们首先看一下产品的定义：
对象
a和b的产品是配置有态射c和p :: c -> a的对象q :: c -> b，对于任何其他对象{{} 1}}（使用态射c'和p' :: c' -> a），存在一个态射q' :: c' -> b，m :: c' -> c和p' = p . m。
请记住，poset中的态射基本上描述的是＆＃34;小于或等于＆＃34;。
现在，两个对象q' = q . m和c之间的产品a必须是小于或等于b和a的对象。例如，我们从您的图表中选择b为a和e为b：
g琐碎的是，第一个想到始终小于或等于任何其他对象的对象是最小的对象，在本例中为 b e -- this one is a
↗ ⤭ ↘
a → c f → h
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d g -- this one is b
。
现在a是a和e产品的有效候选人吗？让我们检查一下产品的定义：
g到a是否存在态射？是的，这是存在的，可以写成e（读作：＆＃34;首先是箭头从a到c，然后是箭头从c到e＆＃34;）。
是否存在从pₐ = ce . ac到a的过敏症？是的，这也存在，可以写成g。
到目前为止，唯一的问题是，这是否是最好的＆＃39;候选人在某种意义上是否存在其他对象，以便我们可以在qₐ = cg . ac和另一个候选人之间构建一个独特的同构？
查看图表，我们可以看到对象a也符合c和p = ce所需的条件。
剩下要做的就是根据上面的定义对这两个对象进行排名。我们看到存在从q = cg到a的态射。这意味着c必须是最佳候选者，因为我们现在可以定义态射c，使m = ac和pₐ = p . m = ce . ac。
因此，poset中两个对象的乘积实际上是最大的对象，它既小于两者（也称为最大下界）。值得注意的是，在总排序中，这对应于函数qₐ = q . m = cg . ac，因为每个对象必须与任何其他对象相关（Wolfram称之为trichotomy law）。
与产品定义类似，副产品对应于大于或等于min(a, b)和a的最小对象。在总排序中，这对应于两个对象的最大值。你可以自己解决这个问题。