一般三个嵌套循环的O（n ^ 3）复杂度的数学推导

Question

Time complexity of nested for-loop通过求解两个循环O（n2）复杂度进入数学推导。

我尝试了一个练习来推导我如何得到以下三个嵌套循环的例子的O（n3）。

简单的三个嵌套循环。

   for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            for (int k = 1; k <= n; k++)
                 print(i * k * j);

求和是 =（n + n + n + .... + n）+（n + n + n + ... + n）+ ... +（n + n + n + ... + n）

= n ^ 2 + n ^ 2 + .... + n ^ 2

n次n ^ 2 = O（n ^ 3）

三个嵌套循环从开始

开始没有运行n次

 for(int i = 1; i <= n; i++)
     for(int j = i; j <= n; j++)
         for(int k = j; k <= n; k++)
             print(i *j * k)

以上是一种非常常见的嵌套循环形式，我相信总结如下

=（n +（n-1）+（n-2）+（n-3）+ ... + 1） +（（n-1）+（n-2）+（n-3）+ ... + 1） +（（n -2）+（n -3）+（n - 4）+ ... + 1） + ... +（（n - （n -2））+ 1）

= n（n - 1）/ 2 +（n-1）（n-2）/ 2 +（n-2）（n-3）/ 2 + .... + 1

= 从这里开始，我有点不确定我的逻辑是否正确。我相信 上面的每一个都评估为最大值为n2的多项式，以及我们关注的时间复杂度，上面的等式可以分解为。

= n ^ 2 + n ^ 2 + n ^ 2 + ... + n ^ 2

= n倍n ^ 2 = O（n ^ 3）。

我的假设是否正确？

三个嵌套循环不从末尾运行n次

for(int i = 1; i <= n; i++)
     for(int j = 1; j <= i; j++)
         for(int k = 1; k <= j; k++)
             print(i *j * k)

如果以上是两个嵌套循环，则求和将为1 + 2 + 3 + 4 + ... + n。但是，对于三个嵌套的出现，我推断它是

= 1 +（1 + 2）+（1 + 2 + 3）+（1 + 2 + 3）+（1 + 2 + 3 + .... + n）

从这里开始，我不知道如何推导O（n ^ 3）或如何进一步简化上述求和。

Answer 1

使用以下事实： 1+2+3+...+i =i*(i+1)/2，上述总结可写为： 1*(1+1)/2 + 2*(2+1)/2 + ... + n*(n+1)/2。 显然i*(i+1) > i^2因此：

1*(1+1)/2 + 2*(2+1)/2 + ... + n*(n+1)/2 > (1^2+...+ n^2)/2，我们知道：

1^2+...+n^2 = n^3/3 + n^2/2 + n/6（可以通过归纳证明这一点。）

因此，原始总和S大于：

n^3/6 + n^2/4 + n/12，即O(n^3)。