Question

给定字符串s，找到时间复杂度O(|s|)中最长的双后缀。

示例：对于字符串banana，LDS为na。对于abaabaa，它是baa。

显然我想过使用后缀树，但是我很难找到双后缀。

Answer 1

反转字符串并构建稀疏数组P[i][j]，其中i从0到log(n)，j从0到{ {1}}，n-1是字符串的长度。 n是指从位置P[i][j]和长度j开始的后缀的等级。因此，如果2^i，则索引P[i][j]=P[i][k]和2^i的后缀的第一个j字符相等。

现在，您的问题减少为找到k的最长公共前缀（反向字符串的开头）和索引0的另一个后缀，例如i。只需在LCP >= i时间内使用P数组，通过比较这两个后缀的前log(n)个字符并逐渐减少2^x来计算LCP。

总复杂度为x。以下是可用的C ++源代码：https://ideone.com/aJCAYG

Answer 2

我认为Gene的解决方案更容易实现，因为它不依赖于树状结构，而是依赖于阵列，它也可能更加硬件友好。

但是既然你提到了后缀树，让我们看一下基于后缀树的解决方案！我将假设您使用结束标记来标记您在树中插入的字符串的结尾。为了说明这一点，下面是为abaabaa示例构建的后缀树的表示：

$ - ##
b a a - $ - ## // Longest double suffix: P is the first dash, N the second
        b a a $ - ## // N' is the dash
a - $ - ##
    a - $ - ##
        b a a $ - ##
    b a a - $ - ##
            b a a $ - ##

当 N 是后缀树中的节点时，我们将表示 | N | 由 N 表示的子字符串的长度。< / p>

如何在后缀树中表征“双后缀”？那么它是一个终端节点 N ，其父节点具有特定属性：让 P 成为双后缀的父节点，然后：

P 转换为后缀节点 N ，只包含字符串的结束标记（$）。
让后缀成为节点 P 所代表的子字符串，并带有附加的结尾标记（在您的示例中为baa$）。如果我们从 P 向下走树，使用后缀，我们最终会进入另一个后缀节点 N'（沿着树向下走实际需要）
节点 P 表示的子字符串是双后缀（在我们的例子中是baa）。
我们有等于 | N'| = 2. | P | + 1 和 | N | = | P | + 1

鉴于此，您只需迭代后缀节点并测试此条件。如果以长度递减的顺序迭代后缀，则可能会贪婪：第一个匹配必然是最长的双后缀。

请注意，我们可以在检查长度| S | / 2的后缀并且只迭代奇数长度的后缀之后停止搜索（不要忘记我们在字符串中添加结束标记）

复杂性分析

构建后缀树是O(|S|) 设 N'为后缀节点，N为后缀长度为（| N'| -1）/ 2 + 1 的后缀节点。假设树的正确构造：

后缀可以按递增顺序存储在数组/向量中，因为树的创建会按照不断增加的长度顺序添加它们（至少使用Ukkonen的算法）。
因此，访问长度为 k 的后缀为O(1)
访问树节点所代表的子字符串为O(1)，特别是，这适用于 P N 和的父节点N'
查明从 P 到 N 的转换是否仅包含结束令牌（$）是O(1)
检查 | N'| = 2. | P | + 1 确实是O(1)

由于我们按照长度的递减顺序迭代后缀，我们必须关注N'后缀（加倍后缀，即示例中的baabaa$），所以我们只需要：< / p>

获取 N 后缀节点，以便|N'| = 2.|N| - 1：O(1)
获取 P 后缀节点N的父级：O(1)
检查从 P 到 N 的转换是否仅包含结束标记$：O(1)

证明： （我们忽略以下证明中的结束标记）

如果导致真正的评估，上面的3个步骤证明存在长度 2的后缀。| P | 以 P 表示的子字符串开头，这也是一个后缀。由于此子字符串是后缀，因此长度 2。| P | 的后缀必须以它结尾，因此由两次出现的子字符串QED组成。

由于我们最多会为(|S|/2 + 1)/2个后缀执行此步骤，因此在最坏的情况下，识别步骤为O(|S|)。

因此总体复杂性为O(|S|)。

在线性时间内找到最长的双后缀

2 个答案:

复杂性分析