为什么要使用Matrix进行3D投影？

Question

在搜索投影矩阵（至少在OpenGL中）的计算后，

当我们有这么多空值时，为什么还要使用Matrix呢？我将9个条目标记为0，只有7个条目包含有用数据。为什么不使用类似的1D数组，只是将数据存储在类似列表的形状中？这不会节省内存和时间来创建可以操纵矩阵的函数吗？我确信这整个论点也可以用在其他主题中，这让我想到了，

在投影3D环境中使用矩阵的具体原因是什么？

Answer 1

3D点(x,y,z)到2D图像坐标(X,Y)的投影可以计算为齐次坐标中的向量矩阵乘法：

[ a_00  a_01  a_02  a_03 ]   [ x ]    [ X W ]
[ a_10  a_11  a_12  a_13 ] * [ y ] =  [ Y W ]
[ a_20  a_21  a_22  a_23 ]   [ z ]    [ Z W ]
[ a_30  a_31  a_32  a_33 ]   [ 1 ]    [  W  ]

与

[ X W ]   [ x a_00 + y a_01 + z a_02 + a_03 ]
[ Y W ]   [ x a_10 + y a_11 + z a_12 + a_13 ]
[ Z W ] = [ x a_20 + y a_21 + z a_22 + a_23 ]
[  W  ]   [ x a_30 + y a_31 + z a_32 + a_33 ]

通过将第一行和第二行除以第四行来获得像素坐标(X,Y)。这一步是从齐次坐标到笛卡尔坐标的转换。

OpenGL投影矩阵的第三行设置方式Z成为投影深度，z和n之间的f值（近和远的平面）映射到-1...1。它用于深度测试/剪裁。因为第四行是[0 0 -1 0]，所以从齐次坐标到笛卡尔坐标的转换对应于-z的除法，这导致透视变换（具有反转的深度）。

表达投影的任何其他方式将涉及相同的步骤，即线性变换，接着是Z的除法，用于透视缩短。对于这些操作，矩阵是线性代数中的常用表示。

这不是特定于透视投影，但许多3D变换可以使用4x4矩阵表示，包括旋转，平移，缩放，剪切，反射，透视投影，正交投影等。

应该在彼此之后应用的多个变换也可以通过矩阵乘法组合成单个4x4矩阵。例如，围绕X，Y和Z轴的旋转，或MVP矩阵。这是模型 - 视图 - 投影矩阵，其将3D场景中的一个对象的局部坐标系中的3D点转换为其在屏幕上的最终像素坐标。在这些组合矩阵上，所有组件都可以是非零的。

因此优点是单个操作，矢量矩阵乘法可用于所有这些情况，而不是几个不同的操作。它在GPU硬件上以有效的方式执行。

Answer 2

这不仅仅是关于单个值，还关乎矩阵的数学属性。并且零与非零值一样重要！ 值的布局有意义！

具体地，同质变换矩阵的前三列（如3D投影矩阵）形成局部坐标空间的基本矢量，第四列定义平移（在透视投影的情况下，移动基底远离奇点指向原点。）

因此，在3D空间中，每个位置有3个值：您必须将这三个值转换为屏幕上的3个值（第三个值转换为用于深度比较的值）和第4个值（位置和目的地）用于透视变形。因此，对于原始位置中的4个值中的每一个，您必须知道它对输出中的每个值有多大贡献。如果它没有贡献（这同样重要），那么这就是0.所以你总共需要4·4 = 16个值。因此是一个4×4矩阵。

Answer 3

投影矩阵按原样使用可能非常罕见。通常，您更有可能将投影矩阵与世界连接起来并查看矩阵并一次性乘以world-view-proj矩阵。

此外，GPU功能强大且灵活，但如果他们最擅长做的一件事，那就是对矢量进行一系列乘法增加（尽管新硬件同样有效）标量乘法加法作为向量乘法 - 加法）。矩阵向量乘法只是一系列向量乘法 - 加法，而更紧凑的结构可能效率较低。

那就是说，你的观点并非没有价值，我知道一个成功的基于固定功能的游戏控制台，其投影矩阵的硬件寄存器有限，可以充分利用投影矩阵中大多数条目的精确点通常是未使用的。