相互递归分析

Question

我试图分析这些功能，但我有点迷失了。因此，对于@Scope t(n) = c

时的函数f

所以，如果n < 1^-5我得到n >= 1^5，其中t2是函数h的时间分析，但我对扩展它感到困惑应该是

t(n) = c2 + t( n / 2 ) + t2( n / 2)

或者我应该扩展t2？

这是我想要分析的代码。

t(n) = ( t(n / 2) + t2( n / 2) ) * c2 + c

Answer 1

T ₁ （n）= T ₁ （n / 2）+ T ₂ （n / 2）+ c1

T ₂ （n）= T ₁ （n / 2）+ T ₂ （n / 2）+ c2

所以我们有

• T ₁ （n）= O（T ₂ （n））
• T ₁ （n）= 2T ₁ （n / 2）+ c1

因为c1 = O（n ^{log ₂ 2} ）主定理意味着

T(n) = O(n)

Answer 2

即使我们在这段代码中调用了两个不同的函数，但是有一些东西可以让你轻松找到这种递归的复杂性。

发生的事情是，在顶层，如果您要输入f()，则表示您正在评估x，然后调用两个不同的功能 - 本身和g()。即使您首先输入g()函数，也会发生同样的事情，即g()调用自身和f()。

因为，树的每个级别x的值都减半，所以此树上的级别数将是 Log ₂ （n）。此外，每个节点有2个孩子即。 f（x / 2）和g（x / 2）。

这是一个长度为Log ₂ （n）的完整二叉树。

在每个节点上完成的工作是不变的 - 如果节点代表对f()的调用，则执行2 * y * z，这是常量。如果节点代表对g()的调用，则执行y*y + z*z，这也是常量。

因此，我们需要做的是，找到长度为Log ₂ （n）的竞争二进制树中的节点总数，我们就有了它们的复杂性。

• 高度 h 的完美二叉树总共有2个 ^{h + 1} - 1个节点。
• 在这种情况下，它将是2 ^{Log ₂ （n）+ 1} - 1个节点。
• 此外， ^{Log _a b} = b（By property of logarithms） ¹
• 因此，复杂度为O（2 ^{Log ₂ （n）}）= O（n）。

^{1 查看＆＃34;取消指数中的第一个属性＆＃34;部分。}