我有以下矩阵
M =
1 -3 3
3 -5 3
6 -6 4
WolframAlpha命令eigenvalues {{1,-3, 3}, {3, -5, 3}, {6, -6, 4}}
产生以下特征值:
lambda_1 = 4
lambda_2 = -2
lambda_3 = -2
以下特征向量:
v_1 = (1, 1, 2)
v_2 = (-1, 0, 1)
v_3 = (1, 1, 0)
然而,Octave命令[V,D]= eig(M)
给出了以下特征值和特征向量:
V =
-0.40825 + 0.00000i 0.24400 - 0.40702i 0.24400 + 0.40702i
-0.40825 + 0.00000i -0.41622 - 0.40702i -0.41622 + 0.40702i
-0.81650 + 0.00000i -0.66022 + 0.00000i -0.66022 - 0.00000i
D =
Diagonal Matrix
4.0000 + 0.0000i 0 0
0 -2.0000 + 0.0000i 0
0 0 -2.0000 - 0.0000i
而且,Jama给出了以下特征值:
4 0 0
0 -2 0
0 0 -2
And the following eigenvectors:
-0.408248 -0.856787 -0.072040
-0.408248 -0.650770 -1.484180
-0.816497 0.206017 -1.412140
Octave和Jama结果似乎彼此不同,并且与Wolfram结果不同 - Octave甚至产生复杂的特征向量,而特征值在所有三种方法中都是一致的。
有关差异的任何解释,以及如何解释Octave和Jame结果以匹配Wolfram结果?
请注意,http://algebra.math.ust.hk/eigen/01_definition/lecture2.shtml给出的手算与Wolfram结果一致。
非常感谢你的帮助。
答案 0 :(得分:2)
所有3个答案都是正确的。
与4
对应的特征向量可以是 (1, 1, 2)
的任何多个。换句话说,只要前两个值相同而第三个数字是两倍大,它就是一个特征向量。
两者
(-0.40825 + 0.00000i, -0.40825 + 0.00000i, -0.81650 + 0.00000i)
和
(-0.408248, -0.408248, -0.816497)
属于这种形式。
重复特征值-2
。因此,对应于特征值-2
的本征空间是二维的。这意味着很难看出答案是等价的。
描述两个特征向量(1, 1, 0)
和(1, 0, -1)
生成的二维空间的最简单方法是满足
(a, b, c)
的集合
a - b + c = 0
很容易检查为-2
找到的所有6个特征向量都是这种形式。
当一个真正的解决方案存在时,Octave给出的答案是复杂的数字,这有点可怜,但实际上并没有错误。