用EULER方法求解4D耦合系统

Question

我想在代码中实现下面给出的系统，但是当我将其增加到1500次迭代时，我得到以下错误：

Warning (from warnings module):
  File "D:\python test files\sys1.py", line 16
    dy = c*x- x*z + w
RuntimeWarning: overflow encountered in double_scalars

Warning (from warnings module):
  File "D:\python test files\sys1.py", line 17
    dz = -b*z + x*y
RuntimeWarning: overflow encountered in double_scalars

Warning (from warnings module):
  File "D:\python test files\sys1.py", line 18
    du = -h*u - x*z
RuntimeWarning: overflow encountered in double_scalars

Warning (from warnings module):
  File "D:\python test files\sys1.py", line 42
    zs[i+1] = zs[i] + (dz * t)
RuntimeWarning: invalid value encountered in double_scalars

Warning (from warnings module):
  File "D:\python test files\sys1.py", line 15
    dx = a*(y-x) + u
RuntimeWarning: invalid value encountered in double_scalars

Warning (from warnings module):
  File "D:\python test files\sys1.py", line 19
    dw = k1*x - k2*y
RuntimeWarning: invalid value encountered in double_scalars

Warning (from warnings module):
  File "C:\Python27\lib\site-packages\mpl_toolkits\mplot3d\proj3d.py", line 156
    txs, tys, tzs = vecw[0]/w, vecw[1]/w, vecw[2]/w   
RuntimeWarning: invalid value encountered in divide

我的代码：

from __future__ import division
import numpy as np    
import math    
import random   
import matplotlib.pyplot as plt    
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D        
# import pdb
# pdb.set_trace()

def sys1(x, y, z, u, w , a=10, b=8.0/3.0, c=28, k1=0.4, k2=8, h=-2):

    dx = a*(y-x) + u
    dy = c*x- x*z + w    
    dz = -b*z + x*y    
    du = -h*u - x*z    
    dw = k1*x - k2*y    
    return dx, dy, dz, du, dw

t = 0.01    
itera = 2500

# Need one more for the initial values

xs = np.empty((itera+1,))    
ys = np.empty((itera+1,))    
zs = np.empty((itera+1,))    
us = np.empty((itera+1,))    
ws = np.empty((itera+1,))

# Setting initial values

xs[0], ys[0], zs[0], us[0], ws[0] = (0.1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.1)


# Stepping through "time".

for i in range(itera):    
# Derivatives of the X, Y, Z state
    dx, dy, dz, du, dw = sys1(xs[i], ys[i], zs[i], us[i], ws[i])     

    xs[i+1] = xs[i] + (dx * t)
    ys[i+1] = ys[i] + (dy * t)
    zs[i+1] = zs[i] + (dz * t)
    us[i+1] = us[i] + (du * t)
    ws[i+1] = ws[i] + (dw * t)

fig = plt.figure()

ax = fig.gca(projection='3d')
ax.plot(xs, ys, zs)
ax.set_xlabel("X Axis")
ax.set_ylabel("Y Axis")
ax.set_zlabel("Z Axis")
ax.set_title("Lorenz Attractor")
plt.show()

Answer 1

你正试图用一个着名的简单数值方案来模拟一个着名的非线性微分方程系统（实际上是{{3>}的 buffed 版本）。您的解决方案在给定的时间步骤出现分歧，这表明您的解决方案值首先变为inf（您没有注意到），然后nan（您仍然没有注意到） ），然后最终Axes3D.plot中的缩放产生一个除零，同时在你的无穷大周围玩耍。

这是你的输出原样：

a famously sensitive system

注意轴限制比例：均高于1e100。这可能会告诉你，你有无穷无尽的。

好消息是，你所拥有的程序可以通过减少时间步长来提供合理的输出，这应该始终是你用Euler等一阶方法的第一个猜测（特别是你＆＃39） ;从MATLAB实现中确信您的算法是正确的。）

使用t=0.001; itera=25000（左）和t=0.0001; itera=250000（右）的输出示例：

首先，请注意这两个图是相当合理的，并且是公然有限的。其次，请注意，两个轨迹虽然具有大致相似的形状，但却非常不同。如果你使用更长的迭代（我的意思是更长的总t*itera），差异将逐渐变得更加代词，最终两条轨迹将完全分开。

你应该确保你明白你正在使用一种非常不准确的方法绘制一个非常敏感（准确：混乱）系统的轨迹。即使使用非常准确的方法，您最终也会积累一些错误，并且您将从实际解决方案偏离到初始值问题。您可以希望的是绘制出吸引子的粗糙形状，其周围的轨迹将不可避免地呈锯齿状。但我相当确定你的目标是开始。