Question

我知道扩展的欧几里得算法是什么以及它在编程中使用的原因。这是一种非常有用的算法，用于查找数的逆模。我知道如何用c ++实现它，这就是我在c ++中实现它的方法。

typedef pair<int, int> pii;

#define x first
#define y second

pii extendedEuclidean(int a, int b)
{
    if(b==0)
        return {a,0};
    else {
        pii d = extendedEuclidean(b, a%b);
        return {d.y, d.x - (d.y*(a/b))};
    }
}

现在，如果我想找到数字的逆模数，例如13，其中mod是例如1000007，那么我只需通过

调用此函数

pair<int, int> res = extendedEuclidean(13, 1000007);

然后结果是

res.first

我的问题是为什么以及在这次递归中究竟发生了什么？以及为什么它会产生正确的结果。

N.B：这里gcd（a，b）必须是1.

Answer 1

欧几里得算法计算一对数(a, b)的最大公约数（假设为a>b）。它使用的观察结果是a和b的任何公约数也是a-b的除数。原因如下：

让d成为除数。然后，对于整数a，a=d*k可以表示为k，对于整数b=d*l，l可以表示为a-b=d*k-d*l=d*(k-l)。然后，k-l。 d也是一个整数。因此，a-b必须是a%b的除数。

算法的作用是尽可能多地从较大的数字中减去较小的数字。这是a = 25部分。例如。如果b = 7和a%b=4，b是从a减去a 3次后得到的结果。之后，新的b将小于extendedEuclidean(b, a%b);。因此，您交换两个数字。这是您调用递归的部分：x

扩展的欧几里德算法做得更多。此外，它会计算两个数字y和gcd(a, b) = x * a + y * b，例如a'=gcd。以下是它的完成方式：

在上一次迭代中，您最终得到b'=0和gcd=a' * 1 + b' * 0。因此，您有1，其中0和x'分别为y'和a''。假设前一次迭代中的值为b''和a'=b''。然后我们知道b'=a'' % b''和b'=a''-(a''/b'')*b''。有了这个，我们发现gcd = a' * x' + b' * y' gcd = b'' * x' + (a''-(a''/b'')*b'') * y' = a'' * y' + b'' * (x' - y' * (a''/b''))（尽可能经常减去）。我们可以修改

x''=y'

因此，新的y''=x' - y' * (a''/b'')和return {d.y, d.x - (d.y*(a/b))};。这是您的退货声明a=25, b=7。

一个例子：

让a。第一遍计算列b和x（从上到下）。这解释了递归调用。第二遍计算列y和a | b | x | y | means ----+--------------+------------------------------+--------------------- 25 | 7 | 2 | -1 - 2 * (25/7) = -7 | 1 = 2 * 25 - 7 * 7 7 | 25 % 7 = 4 | -1 | 1 + 1 * (7/4) = 2 | 1 = (-1) * 7 + 2 * 4 4 | 7 % 4 = 3 | 1 | 0 - 1 * (4/3) = -1 | 1 = 1 * 3 - 1 * 3 3 | 4 % 3 = 1 | 0 | 1 - 0 * (3/1) = 1 | 1 = 0 * 3 + 1 * 1 1 | 3 % 1 = 0 | 1 | 0 | 1 = 1 * 1 + 0 * 0（从下到上）。这说明了退货声明：

1 = 2 * 25 - 7 * 7

所以你得到2其中.first的结果是-7而.second的结果是mod 25。如果我们在1 == 2 * 0 - 7 * 7 1 == -7 * 7，则会缩减为：

-7 == 18

因此，result.second（7 (mod 25)）是result.first的乘法逆。请注意，我交换了输入以避免不必要的第一次迭代。否则，它是<LinearLayout xmlns:android="http://schemas.android.com/apk/res/android" android:layout_width="match_parent" android:layout_height="match_parent" android:orientation="vertical"> <include layout="@layout/common_actionbar" /> <ListView android:id="@android:id/list" android:layout_width="match_parent" android:layout_height="wrap_content" /> <FrameLayout android:id="@+id/fragment_container" android:layout_width="match_parent" android:layout_height="match_parent" />。

扩展的欧几里德算法在c ++中的递归究竟发生了什么？

1 个答案: