Question

是否可以将矩阵的快速逆应用于纯旋转和平移矩阵的串联，例如M = T2*R1*T1*R1？

如果我将旋转和平移存储在4x4齐次列顺序矩阵中，我可以说：

M1 = [ R1  t1 ]  given by [ 1  t1 ] * [ R1 0 ]
     [ 0    1 ]           [ 0   1 ]   [ 0  1 ]

和

inv(M1) = [inv(R1)  inv(R1)*-t1 ] given by [ 1  -t1 ] * [ inv(R1) 0 ] 
          [ 0             1     ]          [ 1    1 ] * [ 0       1 ]

由于R1只是旋转，我们知道inv（R1）=转置（R1）所以我们可以简单地说：

inv(M1) = [transp(R1)  transp(R1)*-t1 ] 
          [ 0               1         ]

现在给出一些其他类似的旋转和平移矩阵M2，如果我们以MFinal = M2 * M1 = T2*R1*T1*R1

的形式说两者的串联

我们可以这么说吗

inv(MFinal) = [transp(MFinalRot)  transp(MFinalRot)*-tfinal ] 
              [ 0                             1             ]

其中MFinalRot是4x4矩阵的旋转部分？

此外，如果订单更加随意，例如MFinal2 = R3*T3 * T2*R2*T1*R1，但仍然只是单独轮换和翻译，该怎么办？

Answer 1

是的，如果您的4x4矩阵是纯旋转矩阵和平移矩阵的串联，您应该能够计算快速逆矩阵：

fast_inverse( [R1  t1] ) = [transpose(R1)  transpose(R1)*(-t1)]
              [0    1]     [     0                1           ]

这是因为3x3旋转矩阵（代码中的R1）只是输入旋转矩阵的乘积，所以它本身应该是一个旋转矩阵，它的转置应该是它的反转。 / p>

如果你的任何连接矩阵都是缩放矩阵，或者底行不是[0 0 0 1]，那么这不再是真的。

另请注意：实际上，如果将足够多的矩阵相乘，浮点误差可能会导致它们漂移＆＃34;一些，因此它们可能不像新生的旋转矩阵那样接近正确的旋转矩阵。根据你如何使用它，这可能不是一个问题 - 但如果是，你可以重新正规化＆＃34;它，如下所示：

orth(Vec3 a, Vec3 b): // return value orthogonal to b
  return (a - (dot(a,b)/dot(b,b)) * b)

re_orthonormalize(Mat3x3 Rin):
  Vec3 x = Rin.x;
  Vec3 y = orth(Rin.y, x);
  Vec3 z = orth(orth(Rin.z, x), y);
  return Mat3x3(normalize(x),normalize(y),normalize(z))

只要您输入的距离太远，就应该为您提供正确的旋转矩阵。

要查看re_orthonormalize代码的工作原理，请先将orth输出的点积与其b输入相加。因为点积是线性的，所以我们有：

dot(a - (dot(a,b)/dot(b,b)*b, b)
  == dot(a,b) - (dot(a,b)/dot(b,b)) * dot(b,b)
  == dot(a,b) - dot(a,b)
  == 0

因此，如果a和b已基本正交，ortho(a,b)会添加少量b以确保点积确实为0

这意味着在re_orthonormalize中，y与x完全正交。棘手的一点是确保z与 x和y正交。这只有效，因为我们已经确保x与y完全正交，因此添加一点y并不会阻止orth(Rin.z, x)与x正交$add_number = $twilio->account->incoming_phone_numbers->create(array( "PhoneNumber" => $number, "MessagingServiceSid" => "MG68f3...4b72", // Messaging Service ID on Twilio ));。

Answer 2

两个平方矩阵的乘积（P = AB）的倒数通常是Inv（B）* Inv（A）。轮换和翻译将通勤。通常，您必须按照应用顺序的相反方式展开操作。

在这种情况下，R1 * T1 * R2 * T2 = R1 * R2 * T1 * T2然后您可以计算连接的倒数，作为单个旋转和平移的组成的倒数。

所以是的，这对于纯粹的旋转和翻译来说是合理的。

将快速逆应用于级联4x4仿射变换？

2 个答案: