所以我发现找到k-ary tree的高度的公式是
ceil（log_k（k-1）+ log_k（n） - 1）
其中 n 是树中节点或元素的数量。
我的问题是理解这个公式。你是怎么发现这个以及如何证明的？
答案 0 :(得分：1)
嗯，更容易想到深度为d的k-ary树首先有多少个节点然后求解方程式。所以这很容易递归定义。深度为0的树只有一个节点。深度为d + 1的树的k次是子树的大小加上一个新节点，所以我们得到
s(0) = 1
s(d+1) = k*s(d)+1
现在，要么有理论来解决这样的递归方程，要么你可以尝试猜测它并证明你的猜测。因为这更容易，这就是我们要做的。我们的假设是：
s(d) = (k^(d+1)-1)/(k-1)
我们可以通过深度感应轻松证明这一点。基本情况：
s(0) = 1
(k^1-1)/(k-1)=1
诱导步骤：
s(d+1) = k*s(d)+1 (now we apply the induction hypothesis)
= k*(k^(d+1)-1)/(k-1) + 1 = (k^((d+1)-k)+k-1)/(k-1)
= (k^((d+1)+1) - 1)/(k-1)
所以现在我们已经证明我们只是解决了这个等式：
s = (k^(d+1)-1)/(k-1)
s*(k-1)+1 = k^(d+1)
log_k(s*(k-1)+1) = d+1
d = log_k(s*(k-1)+1)-1
几乎就在那里。现在我们只对自然数感兴趣，并且我们知道log_k（s *（k-1）+1）总是必须是自然数，如果s和k是。我们也知道log_k（x + 1） - log_k（x）＆lt; 1表示任何k> = 2且x>所以我们可以写成：
d = ceil(log_k(s*(k-1))-1)
= ceil(log_k(s)+log_k(k-1))-1)