Question

我尝试使用sage在两个变量中进行简单的多项式除法。不幸的是，我得到了一个意想不到的结果，如下面的代码所示。我尝试了几种不同的方法来实例化环及其变量，但是结果保持不变。使用％-operator获得除法的其余部分会产生相同的结果。有什么想法吗？

R, (x, y) = PolynomialRing(RationalField(), 2, 'xy').objgens()
t = x^2*y^2 + x^2*y - y + 1
f1 = x*y^2 + x
f2 = x*y - y^3

(q, r) = t.quo_rem(f1)
print "quotient:", q, "reminder:", r
assert q == x and r == x^2*y-x^2-y+1

(q, r) = r.quo_rem(f2) # error, expected q = x, r = -x^2+x*y^3-y+1
print "quotient:", q, "reminder:", r
assert q == x and r == -x^2+x*y^3-y+1

输出：

quotient: x reminder: x^2*y - x^2 - y + 1
quotient: 0 reminder: x^2*y - x^2 - y + 1

---------------------------------------------------------------------------
AssertionError                            Traceback (most recent call last)
<ipython-input-8-861e8a9d1112> in <module>()
     10 (q, r) = r.quo_rem(f2) # error, expected q = x, r = -x^2+x*y^3-y+1
     11 print "quotient:", q, "reminder:", r
---> 12 assert q == x and r == -x**Integer(2)+x*y**Integer(3)-y+Integer(1)

AssertionError:

Answer 1

多元多项式的划分：期限订单

多元多项式的除法结果取决于单项式的选择顺序，explained in Wikipedia也是如此。就目前而言，当P并且仅当P包含可被Q 的前导单项相对于所选择的顺序整除的单项时，足以说P除以Q的商是非零的。

默认情况下，Sage中的多项式环使用度 - 反向词典顺序（简称为degrevlex），其中单项式首先按总度排序，然后按字典顺序在每个度数内。您可以使用R.term_order()进行检查。这是the list of term orders。

在degrevlex顺序中，y ^ 3在x * y之前，因为它具有更高的总度。并且由于x ^ 2 * y-x ^ 2-y + 1没有可被y ^ 3整除的单项式，因此得到零商。

Buggy quo_rem

您的预期结果与单项式的词典（lex）顺序一致。因此，似乎修复是在构造R时规定词典术语顺序：

R.<x,y> = PolynomialRing(QQ, 2, 'xy', order='lex')

不幸的是，quo_rem忽略了R的术语顺序，仍然使用degrevlex。这似乎是一个错误，无论是Sage与Singular通信的方式，还是Singular本身（the Quotient command is deprecated）。

解决方法

同时，有一种解决方法：使用reduce命令而不是quo_rem，因为它尊重R的术语顺序。例如：

R.<x,y> = PolynomialRing(QQ, 2, 'xy', order='lex')
a = x^2*y-x^2-y+1
f2 = x*y-y^3
r = a.reduce(Ideal([f2]))
q = (a-r)/f2

返回r = -x ^ 2 + x * y ^ 3 - y + 1和q = x。

圣人中的多元多项式除法

1 个答案:

多元多项式的划分：期限订单

Buggy quo_rem

解决方法