Question

假设我们有一组点，其限制是对于每个点，所有坐标都是非负的，并且坐标之和等于1.这将点限制在三维单形中，因此它有意义尝试将其映射回三维空间以进行可视化。

我正在寻找的地图将采取极值点（1,0,0,0），（0,1,0,0），（0,0,1,0）和（0,0,0），1）到“定位良好”的正四面体的顶点。特别是，四面体的中心位于原点，一个顶点位于z轴上，一个面平行于x，y平面，一个边缘平行于x轴。

这里的代码对三维中的点做了类似的事情，但似乎并不明显如何将它扩展为4.基本上我正在寻找4-d等价的函数tosimplex（它将4个维度变为3）它与frommplex

相反

A = Sqrt[2/3] {Cos[#], Sin[#], Sqrt[1/2]} & /@ 
    Table[Pi/2 + 2 Pi/3 + 2 k Pi/3, {k, 0, 2}] // Transpose;
B = Inverse[A];
tosimplex[{x_, y_, z_}] := Most[A.{x, y, z}];
fromsimplex[{u_, v_}] := B.{u, v, Sqrt[1/3]};

(* checks *)
extreme = {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}};
Graphics[Polygon[tosimplex /@ extreme]]
fromsimplex[tosimplex[#]] == # & /@ extreme

答案：

从矩阵的角度直接重新设计deinst的答案给出了以下内容。（1 / sqrt [4]作为第4个坐标，因为它是到单面中心的距离）

A = Transpose[{{-(1/2), -(1/(2 Sqrt[3])), -(1/(2 Sqrt[6])), 
     1/Sqrt[4]}, {1/2, -(1/(2 Sqrt[3])), -(1/(2 Sqrt[6])), 
     1/Sqrt[4]}, {0, -(1/(2 Sqrt[3])) + Sqrt[3]/2, -(1/(2 Sqrt[6])), 
     1/Sqrt[4]}, {0, 0, Sqrt[2/3] - 1/(2 Sqrt[6]), 1/Sqrt[4]}}];
B = Inverse[A];
tosimplex[{x_, y_, z_, w_}] := Most[A.{x, y, z, w}];
fromsimplex[{t_, u_, v_}] := B.{t, u, v, 1/Sqrt[4]};

(* Checks *)
extreme = Table[Array[Boole[# == i] &, 4], {i, 1, 4}];
Graphics3D[Sphere[tosimplex[#], .1] & /@ extreme]
fromsimplex[tosimplex[#]] == # & /@ extreme

Answer 1

你想要

   (1,0,0,0) -> (0,0,0)
   (0,1,0,0) -> (1,0,0)
   (0,0,1,0) -> (1/2,sqrt(3)/2,0)
   (0,0,0,1) -> (1/2,sqrt(3)/6,sqrt(6)/3))

这是一个线性变换，所以你转换

   (x,y,z,w) - > (y + 1/2 * (z + w), sqrt(3) * (z / 2 + w / 6), sqrt(6) * w / 3)

编辑您希望中心位于原点 - 只需减去四个点的平均值即可。遗憾

(1/2, sqrt(3)/6, sqrt(6) / 12)

Answer 2

一种可能性：

从四面体的中心向每个顶点生成四个（非正交）3矢量\vec{v}_i。
每四个位置x = (x_1 .. x_4)形成向量总和\Sum_i x_i*\vec{v}_i。

当然，这种映射通常不是唯一的，但是你认为x_i的总和为1会限制事物。

在Mathematica中将4d空间投射到3d空间

2 个答案: