检查调整相同二叉树的时间复杂度

Question

我在网上法官遇到如下问题：

检查两个给定的二叉树是否相同。假设允许任意数量的调整。调整被定义为树中一个节点的子节点的交换。

我提出了以下接受的天真算法。

/**
 * @aaram a, b, the root of binary trees.
 * @return true if they are tweaked identical, or false.
 */
bool isTweakedIdentical(TreeNode* a, TreeNode* b) {
    if (!a || !b)
        return !a && !b;
    return a->val == b->val && 
    ((isTweakedIdentical(a->left, b->left) && isTweakedIdentical(a->right, b->right)) ||
    (isTweakedIdentical(a->left, b->right) && isTweakedIdentical(a->right, b->left)));
}

但是，我无法弄清楚我的解决方案的时间复杂性。任何人都可以教我如何分析它？我不确定最坏的情况何时发生。

Answer 1

这取决于你期望树的“二进制”。

如果构建的树往往更加线性链接，那么您的算法将倾向于线性执行O(N)（具有N个非尾调用递归，这可能导致堆栈溢出大树）。 / p>

如果您构建的树往往更加二进制，因为两个子节点的每个节点的树大小大致相等，那么您的算法将以对数方式执行对数​​， O(log2(N)) < / s> O(N^2)。

最糟糕的情况是a在右侧是线性的，而b在左侧是线性的。您可以通过伪随机选择要检查的路径来改善您的平均情况，但是以每次调用函数调用rand()为代价。我不知道这是否值得花费，但这只是一个建议。

修改

考虑二叉树的这个例子：

       _1_
      /   \
    _2     3_
   / |     | \
  4  5     6  7
 /|  |\   /|  |\
8 9  A B C D  E F

       _1_
      /   \
    _3     2_
   / |     | \
  7  6     5  4
 /|  |\   /|  |\
F E  D C B A  9 8

这是heaps的两个例子。他们匹配，除了他们被镜像。这将需要对isTweakedIdentical()进行43次调用才能返回true。但这似乎是一个O(N)操作，考虑到每个节点平均3次调用（根除了）。我稍后会完成编辑。

Answer 2

对于初学者来说，让我们假设你正在使用一个包含n个节点的完美二叉树。在每个级别，您最多触发四个递归调用，每个调用都到一个二进制树，其中包含（大致）n / 2个节点。你每次调用都在做O（1）工作，所以我们得到了递归关系

  

T（n）≤4T（n / 2）+ O（1）

使用主定理，我们处于a = 4，b = 2和d = 0的情况下，并且因为log _b a = log ₂ 4 = 2且d = 0，在这种情况下，我们看到运行时为O（n ² ）。

这个上限的问题在于它并不紧张。特别是，查看所进行的递归调用的结构，如果不存在短路，我们只能获得四次递归调用。这将要求在两种情况中的每一种情况下的第一次调用返回true，而第二次分支返回false。我花了最后半个小时试图制作一个最坏情况的树，并证明它是一个最坏情况的树，但我有一点时间这样做。我怀疑答案介于O（n ^{log ₂ 3} ）之间，这是每个节点三次调用得到的结果，O（n ^{2 < / sup>），但我不确定。遗憾！}