Question

我有一个矩阵m：

(m <- matrix(c(26,14,24,14,20,42,24,42,90), 3))

#      [,1] [,2] [,3]
# [1,]   26   14   24
# [2,]   14   20   42
# [3,]   24   42   90

当我运行solve(m)来计算矩阵的逆矩阵时，我收到以下错误消息：

solve(m)

solve.default（m）出错：系统在计算上是单数的：倒数条件数= 6.21104e-18

Answer 1

我们可以看到，必须以多种方式实现这一点，每种方式都意味着不可逆性：

1） m的决定因素为零：

> det(m)
[1] -2.685852e-12

2） m具有零特征值，即eigen(m)$values[3]。等效地，m的零空间是非空的 - 它等于eigen(m)$vectors[, 3]所跨越的1维空间

> e <- eigen(m); e
$values
[1]  1.180000e+02  1.800000e+01 -6.446353e-15

$vectors
           [,1]          [,2]       [,3]
[1,] -0.2881854  9.486833e-01  0.1301889
[2,] -0.4116935  1.110223e-16 -0.9113224
[3,] -0.8645563 -3.162278e-01  0.3905667

> N <- e$vector[, 3]  # nullspace
> m %*% N  # shows that N is indeed mapped to zero
             [,1]
[1,] 5.329071e-15
[2,] 0.000000e+00
[3,] 0.000000e+00

3） m的列不线性独立。特别是在其他列上回归m[,1]给出了完美拟合（即拟合值等于m[, 1]），因此从线性模型的系数得到7 * m[,2] - 3 * m[, 3]等于m[, 1]。

> fm <- lm(m[, 1] ~ m[, 2] + m[, 3] + 0)

> all.equal(fitted(fm), m[, 1]) # perfect fit
[1] TRUE

> coef(fm)
m[, 2] m[, 3] 
     7     -3 

> all.equal(7 * m[, 2] - 3 * m[, 3], m[, 1])
[1] TRUE

4） cholesky分解的对角线为零：

> chol(m, pivot = TRUE)
         [,1]     [,2]      [,3]
[1,] 9.486833 2.529822 4.4271887
[2,] 0.000000 4.427189 0.6324555
[3,] 0.000000 0.000000 0.0000000
attr(,"pivot")
[1] 3 1 2
attr(,"rank")
[1] 2
Warning message:
In chol.default(m, pivot = TRUE) :
  the matrix is either rank-deficient or indefinite

5） m不是满级，即排名小于3：

> attr(chol(m, pivot = TRUE), "rank")
[1] 2
Warning message:
In chol.default(m, pivot = TRUE) :
  the matrix is either rank-deficient or indefinite

注意：输入可通过以下方式重复输出：

m <- matrix(c(26, 14, 24, 14, 20, 42, 24, 42, 90), 3)

Answer 2

问题是列不是线性独立的。

第一列* -1/3 +第二列* 7/3等于第三列。

-m[, 1] * 1/3 + 7/3 * m[, 2]

# [1] 24 42 90

计算矩阵的逆矩阵：系统是计算奇异的[错误]

2 个答案: