Question

以下是π的相等 - 类型（π是小写Π，即π A B是(x : A) -> B x的代码）与强制相互定义：

π A₁ B₁ ≃ π A₂ B₂ = σ (A₂ ≃ A₁) λ P -> π _ λ x -> B₁ (coerce P x) ≃ B₂ x

和相应定义的函数相等（σ是小写Σ）：

_≅_ {A = π A₁ B₁} {π A₂ B₂} f₁ f₂ = σ (A₂ ≃ A₁) λ P -> π _ λ x -> f₁ (coerce P x) ≅ f₂ x

因此，而不是＆＃34;相等的函数将相等的输入映射到相等的输出＆＃34;我们有＆＃34;相等的函数映射定义相等的输入到相等的输出＆＃34;。

在此设置中coherence

coerce : ∀ {α β} {A : Univ α} {B : Univ β} -> ⟦ A ≃ B ⟧ᵀ -> ⟦ A ⟧ᵀ -> ⟦ B ⟧ᵀ
coherence : ∀ {α β} {A : Univ α} {B : Univ β}
          -> (P : ⟦ A ≃ B ⟧ᵀ) -> (x : ⟦ A ⟧ᵀ) -> ⟦ x ≅ coerce P x ⟧ᵀ

（Univ 0为Prop，Univ (suc α)为Type α）

是可证明的。我唯一需要假设的是

postulate ≃-refl : ∀ {α} -> (A : Univ α) -> ⟦ A ≃ A ⟧ᵀ

但我们可以调整平等来处理A ≃ A作为特例（我认为trustMe需要朋友_≟_ : ∀ {α} {A : Set α} (x y : A) -> Maybe (x ≡ y)）。

我们仍需要假设某些内容来定义subst和其他内容。

我错过了什么吗？我们是否会失去任何不相干性？在函数相等的定义中提到类型相等似乎是可疑的。通过限制相等函数的输入在定义上相等，我们是否会损失很多？强烈规范化coherence还是有什么好处，或者它不重要，因为它在计算上无关紧要？

The code（我完全忽略了积极性，终止和累积性问题）。

Answer 1

首先，感谢您询问观察类型理论。其次，你在这里所做的确实似乎是在一起，即使它有不同的地方，Thorsten Altenkirch，Wouter Swierstra和我把它们放在我们的故事版本中。第三，对于连贯性是可推导的并且反身性是唯一的假设并不令人惊讶（至少对我而言）。这也是我们的OTT的真实情况，Wouter在我们撰写该论文时回答了Agda 1中的证据。证明不相关和生命的短暂意味着我没有将他的证据移植到Agda 2。

如果您错过了任何内容，那就是潜伏在您的评论中

我们仍需要假设某些内容来定义df = pandas.DataFrame(dict(a=[1, 2, 3, 4, 5, 6], b=[6, 7, 8, 9, 0, 0]), index=pandas.MultiIndex.from_product([[1, 2], [3, 4, 5]])) print(df.groupby(level=0, group_keys=False).apply(lambda x: x.sum(axis=1))) 1 3 7 4 9 5 11 2 3 13 4 5 5 6 dtype: int64和其他内容。

如果您有一些subst，一些P : X -> Set和一些a, b : X，您希望在q : a = b中获得一项功能。＆＃34;相等的函数将相等的输入取为相等的输出＆＃34;通过P a -> P b，我们可以推导出refl P : P = P，q。你的＆＃34;相等的函数将给定的输入转换为相等的输出＆＃34;公式不允许您P a = P b弥补从q到a的差距。

存在b和refl，＆＃34;两个相等的输入＆＃34;相当于＆＃34;在两个地方使用的一个输入＆＃34;。在我看来，您已将工作转移到了获得subst所需的任何其他内容。根据您对subst的定义是多么懒惰（以及＆＃39>你如何获得证据无关性），您只需要一个假设。

使用您的特定配方，您甚至可以获得同类值相等。如果你用强制而不是方程来修复类型间隙，你可能会省去一些麻烦（并且可能在函数相等的情况下摆脱域类型上的那个等式）。当然，在这种情况下，你需要考虑如何取代连贯性陈述。

我们非常努力地将强制排除在平等的定义之外，保留某种对称性，并保持类型方程式超出价值方程式，主要是为了不必一次考虑。有趣的是，至少某些部分的建筑可能会变得更容易，因为它是一种东西，它的强制性和＃34;取代＆＃34;两个平等的事物＆＃34;。

OTT中可证明的连贯性

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