我有一个用于计算方波的傅立叶变换的小脚本，当我使用fft反转numpy.fft.ifft()时，该脚本运行良好并正确返回方波。但是，我无法通过在将它们乘以我从numpy.fft.fft()获得的各自系数后手动累加谐波来反转变换。下面是我的脚本，我相信您会看到我的意图。
from numpy import zeros, concatenate, sin, pi, linspace
from numpy.fft import fft, fftfreq, ifft
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
N = 1024 # samples
T = 1 # period
dt = T/N # sampling period
fs = 1/dt # sampling frequency
t = linspace(0, T, N) # time points
functime = .... # square wave
funcfft = fft(functime) # fft
fftcoeffs = np.abs(funcfft)/N # coefficients, divide by N to get actual coeff.s(I believe?)
freqs = fftfreq(N, dt) # frequencies
plt.plot(freqs, fftcoeffs) # gives me reasonable output
plt.show()
FF = ifft(funcfft)
plt.plot(t, FF) # plots exactly the same function as functime defined above
plt.show()
FFF = zeros(N)
for i in range(300):
FFF += fftcoeffs[i]*sin(2*pi*freqs[i]*t)
plt.plot(t, FFF)
plt.show()
假设range(300)足以收敛。现在，当我这样做时，FFF与我原来的功能不同。我认为，如果我将相应频率的谐波乘以它们相应的系数，我认为这些系数存储在fftcoeffs中，那么我将收敛到原始函数。我做错了什么？
更新：根据DanielSank的建议，我已更新了我的for循环，如下所示，遗憾的是没有给我预期的结果：
freqs2 = np.abs(freqs)
freqs2 = np.sort(freqs2)
for k in range(300):
FFF += fftcoeffs[k]*exp(2j*pi*freqs2[k]*t/N)
我不确定我是否按照绝对值＆＃34; 排序fftfreq ＆＃34;部分就在这里。
答案 0 :(得分：5)
此问题中没有任何内容专门针对fast Fourier transform (FFT)。 FFT是用于计算discrete Fourier transform (DFT)的特定算法，因此我将说“DFT”而不是“FFT”。
在此回答中，m表示离散时间索引，k表示离散频率索引。
这里有几个问题，所有这些都是数学上的，这些问题来自对DFT如何工作的误解。
取自numpy.fft模块docstring，numpy将离散傅里叶变换定义为
A_k = \ sum_ {m = 0} ^ {n-1} a_m \ exp [-2 \ pi i（m k / n）]
这是LaTeX符号，表示离散傅立叶变换是复指数exp[2 pi i m k / n]的线性组合，其中n是总点数，m是离散时间指数。
在您的注释中，这将是exp[2 pi i m k / N]，因为您使用N表示总点数。
exp，而不是sine 请注意，DFT使用指数;这些是不 sine函数。
如果要根据离散傅立叶变换系数建立时域信号，则必须使用与DFT本身相同的函数！
因此，你可以试试这个：
FFF = zeros(N)
for i in range(300):
FFF += fftcoeffs[i]*np.exp(2*pi*i*freqs[i]*t)
plt.plot(t, FFF)
plt.show()
然而，这也会以一种可能让你困惑的方式失败。
最后的拼图块与称为锯齿的效果有关。
假设您采用信号exp[2 pi i (N + p) m / N]的DFT。
如果您计算它，您会发现除A_k之外，所有A_p都为零。
事实上，如果你采用exp[2 pi i p m / N]的DFT，你会得到相同的东西。
您可以看到频率大于N的任何复指数都显示为频率较低。
特别是，频率为q + b N且b为任意整数的任何复数指数看起来都具有频率q。
现在假设我们有一个时域信号cos(2 pi p m / N)。
这等于
(1/2)[ (exp(2 pi i p m / N) + exp(-2 pi i p m / N) ]。
负频率对DFT产生了有趣的影响。
频率-p可以写为(N-p) + N。
其格式为q + b N q = N - p和b=1。
因此，负频率-p看起来像N - p！
numpy函数fftfreq知道这一点。
看看fftfreq的输出，你会看到它从零开始，运行到采样频率的一半（称为奈奎斯特频率），然后变为负数！
这是为了帮助您处理我们刚才描述的锯齿效果。
所有这一切的结果是，如果你想通过求和最低频率傅立叶分量来近似函数，那么不想要从fftfreq中取出最低的几个元素。
相反，您希望按绝对值排序fftfreq，然后将复数指数与这些频率相加。
另请查看np.fft.hfft。
此函数旨在处理实值函数以及与它们相关的别名问题。
由于这是一个相当难以口头讨论的问题，因此这里的脚本完全符合您的要求。 请注意，我在这些注释所描述的代码块之后添加了注释。 确保安装了matplotlib（在您的虚拟环境中......您使用虚拟环境，对吧？）。 如果您有任何疑问，请发表评论。
from __future__ import division
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
pi = np.pi
def square_function(N, square_width):
"""Generate a square signal.
Args:
N (int): Total number of points in the signal.
square_width (int): Number of "high" points.
Returns (ndarray):
A square signal which looks like this:
|____________________
|<-- square_width -->
| ______________
|
|^ ^ ^
index |0 square_width N-1
In other words, the output has [0:N]=1 and [N:]=0.
"""
signal = np.zeros(N)
signal[0:square_width] = 1
return signal
def check_num_coefficients_ok(N, num_coefficients):
"""Make sure we're not trying to add more coefficients than we have."""
limit = None
if N % 2 == 0 and num_coefficients > N // 2:
limit = N/2
elif N % 2 == 1 and num_coefficients > (N - 1)/2:
limit = (N - 1)/2
if limit is not None:
raise ValueError(
"num_coefficients is {} but should not be larger than {}".format(
num_coefficients, limit))
def test(N, square_width, num_coefficients):
"""Test partial (i.e. filtered) Fourier reconstruction of a square signal.
Args:
N (int): Number of time (and frequency) points. We support both even
and odd N.
square_width (int): Number of "high" points in the time domain signal.
This number must be less than or equal to N.
num_coefficients (int): Number of frequencies, in addition to the dc
term, to use in Fourier reconstruction. This is the number of
positive frequencies _and_ the number of negative frequencies.
Therefore, if N is odd, this number cannot be larger than
(N - 1)/2, and if N is even this number cannot be larger than
N/2.
"""
if square_width > N:
raise ValueError("square_width cannot be larger than N")
check_num_coefficients_ok(N, num_coefficients)
time_axis = np.linspace(0, N-1, N)
signal = square_function(N, square_width)
ft = np.fft.fft(signal)
reconstructed_signal = np.zeros(N)
reconstructed_signal += ft[0] * np.ones(N)
# Adding the dc term explicitly makes the looping easier in the next step.
for k in range(num_coefficients):
k += 1 # Bump by one since we already took care of the dc term.
if k == N-k:
reconstructed_signal += ft[k] * np.exp(
1.0j*2 * pi * (k) * time_axis / N)
# This catches the case where N is even and ensures we don't double-
# count the frequency k=N/2.
else:
reconstructed_signal += ft[k] * np.exp(
1.0j*2 * pi * (k) * time_axis / N)
reconstructed_signal += ft[N-k] * np.exp(
1.0j*2 * pi * (N-k) * time_axis / N)
# In this case we're just adding a frequency component and it's
# "partner" at minus the frequency
reconstructed_signal = reconstructed_signal / N
# Normalize by the number of points in the signal. numpy's discete Fourier
# transform convention puts the (1/N) normalization factor in the inverse
# transform, so we have to do it here.
plt.plot(time_axis, signal,
'b.', markersize=20,
label='original')
plt.plot(time_axis, reconstructed_signal.real,
'r-', linewidth=3,
label='reconstructed')
# The imaginary part is zero anyway. We take the real part to
# avoid matplotlib warnings.
plt.grid()
plt.legend(loc='upper right')
答案 1 :(得分：0)
最大的问题是你只使用了FFT结果的幅度（np.abs），从而丢掉了所有的相位信息。
如果您保留FFT的复杂相位结果，并在正弦波重新合成中使用该相位信息，则手动添加谐波将更接近原始。
可能的提示：您可能必须在FFT之前对波形进行快速移位以获得有用的相位结果，具体取决于方波的频率与FFT孔径宽度。