找到方法 - 测试矩阵（数学问题）解释的有效方法

Question

设置：

我有一个布尔矩阵，例如

1  0
1  1
0  1

其中行名为 m1 ， m2 ， m3 （作为方法）和列 t1 和 t2 （作为测试）。

定义：

解释是一组行（方法），它们在任何列中都至少有一个“1”（每个测试至少要有一个方法匹配）。

在我们的例子中，解释的集合是：

{
  {m2}, 
  {m1,m2},{m1,m3},{m2,m3},
  {m1,m2,m3}
}

问题：

我现在想要计算所有解释。

现在，我已经有两个可以解决问题的实现，一个是自上而下搜索解释，另一个是自下而上，但两者都在计算时间呈指数级增长（通过将行数增加一倍而增加一倍）。

这是一个已知的（可能是有效解决的）数学问题吗？

让事情变得简单的是，最后，我只需要解释每个方法的出现次数。在我们的示例中，这将是 m1 三次出现， m2 四次出现， m3 出现三次。

我现在的算法工作正常，直到让我们说26行。但进一步说，它变得非常缓慢。

感谢您的帮助！

Answer 1

如果您能够满足近似概率并希望可扩展，Gibbs采样可能会起作用。基本思路非常简单：从全行解释开始，然后重复以下几行解释。

1. 选择随机行。
2. 翻转硬币。
3. 如果硬币出现在头上，请在说明中添加一行（如果已经存在则不执行任何操作）。
4. 如果硬币出现尾巴，请尝试从说明中删除该行。如果结果不是解释，请将行放回去。

在限制中，包含给定行的样本的分数收敛到其真实值。在关键词“使用吉布斯采样的贝叶斯推断”下有一些实际的实现（你有一个统一的先验并观察到对于每一列，与它相关的行的分离是真的）。但是，由于我不是这方面的专家，所以我不能告诉你自己卷起的危险。

Answer 2

我认为这可能是一个指数问题。例如，如果其中一个方法在每个列中都有一个，那么包含该方法的任何方法子集都是一个解释，因此如果有M个方法，则至少有2 ^（M-1）个解释;类似地，如果某些方法在任何列中都有一个，那么至少有2 ^（M-2）个解释。

这是一种方法，虽然仍然是指数，但我认为比枚举所有解释更快，特别是当有多个方法时。

设T（A，B）是A（一组方法）的子集数，在B（一组列）的每列中至少有一个1。

如果B为空，则T（A，B）是A的子集数，即2 ^ #A，其中A具有#A元素。 否则，如果A为空，则T（A，B）为0。 否则，如果i是A的元素（例如第一个），

T（A，B）= T（A \ {i}，B \ m [i]）+ T（A \ {i}，B）

（这里A \ {i}是A而没有i，B \ m [i]是B而没有方法i中的任何列）

T可以非常简洁地编码为递归函数。

最后c [j]，方法j在解释中出现的次数是

c [j] = T（A \ {j}，C \ m [j]）

其中C是所有列的集合。

Answer 3

我不知道是否有一些指数可能的解释（这意味着你不能比指数更快地枚举它们）。

但是，您可以采用动态编程方式处理此问题，以消除重复工作：

• 第一级是单个元素的列表：所有方法的集合
每个级别的
• 循环：
  • 此级别中每个集合的循环：
    • 如果这个集合是一个解释（or他们的测试一起给出所有1 s）：
      • 将其放入结果列表
      • 创建此集合的所有可能子集，其中只有一个方法更少，并将它们放入下一个“级别”
  • 从下一级删除所有重复项
• 直到等级为空