关于算法的时间复杂度

Question

以下问题的时间复杂度是什么。

setInt

Answer 1

通过扩展总和的前三个术语：

你可以看到它只是log(log(j))的迭代总和。 由于O（j）>＆gt; O（log（j）），遵循O（log（j））＆gt;＆gt; O（log（log（j））;第一项因此掩盖了所有其他术语。

因此总和为O（log（j）），这意味着时间复杂度为

。

数值试验表明，这实际上是O（n ^ 0.82 ......）。

Answer 2

使用已编辑的代码（+=而不是=），我猜想此代码的渐近时间复杂度（假设log()和其他基本操作需要恒定时间）是Θ（ n / log n ）。

很容易证明循环至少需要 n / log（ n +5）= n /（log n ×log 5）迭代完成，因为它计算到 n ，并且每次迭代都会使计数器增加一个严格小于log的量（ n + 5）。因此，渐近时间复杂度至少Ω（ n / log n ）。

显示它也是O（ n / log n ），因此Θ（ n / log n ），看起来有点棘手。基本上，我的论点是，对于足够大的 n ，将计数器 j 从exp（ k ）递增到exp（ k） +1）采用 C ×exp（ k ）/ k 迭代的顺序（对于常量 C） ≈（1 - exp（-1））/ 5，如果我没记错的话）。让 h = ceil（log（ n ）），将计数器从1递增到 n 因此最多需要

T = C ×（exp（ h ）/ h + exp（ h -1）/（ h -1）+ exp（ h -2）/（ h -2）+ ... + exp（1） / 1）

迭代。对于大型 n （以及 h ），领先的exp（ h ）/ h 术语应占主导地位，这样 T ≤ C ₂ ×exp（ h ）/ h 一些常量 C ₂ ，因此循环应该在O中运行（exp（ h ）/ h ）= O（ n / log n ）时间。

那就是说，我承认这只是一个证明草图，我的论证中可能存在差距或错误。特别是，我实际上没有确定常量（？） C ₂ 的上限。 （ C ₂ = C × h 显然会满足不等式，但只能产生一个O（ n ）运行时的上限; C ₂ = C /（1 - exp（-1））会给出期望的界限，但显然太低了。）因此，我不能完全排除实际时间复杂度可能（非常轻微）更高的可能性。