用给定半径的一个圆覆盖最大点数的算法

Question

让我们假设我们有一架飞机上有一些点。 我们也有一个给定半径的圆。

我需要一种算法来确定圆圈的位置，它可以覆盖最大可能的点数。当然，有很多这样的位置，所以算法应该返回其中一个。
精度并不重要，算法可能会犯很小的错误。

这是一个示例图片：

输入：
int n（n <= 50） - 点数;
float x[n]和float y[n] - 带有点X和Y坐标的数组;
float r - 圆的半径。

输出：
float cx和float cy - 圈子中心的坐标

算法的闪电速度不是必需的，但它不应该太慢（因为我知道这种情况的一些慢速解决方案）。

C ++代码是首选，但不是强制性的。

Answer 1

按照建议编辑更好的措辞：

基本观察：

• 我假设半径为1，因为它不会改变任何东西。
• 给出任意两点，它们至多存在两个单位圆圈。
• 给出问题的解决方案圈，你可以移动它直到它包含你的集合中的两个点，同时保持你的集合中的点数相同。

然后算法：

• 对于每对点，如果它们的距离<1。 2，计算通过它们的两个单位圆C1和C2。
• 计算C1和C2内的集合点数
• 取最大值

Answer 2

这是文献中的“磁盘部分覆盖问题” - 应该为您提供一个开始使用Google搜索的好地方。这是一篇涵盖一种可能解决方案的论文，但数学上有点强烈：http://www.utdallas.edu/~edsha/papers/bin/ISPAN04_cover.pdf

事实上，这属于称为计算几何的领域，这很有吸引力，但很难获得立足点。德贝格对与该主题相关的各种算法有很好的概述。

Answer 3

如果你想要简单的东西，采取随机位置（x，y），计算圆内的点数并与之前的位置进行比较。取最大值。您可以随时重复此操作。

为什么地狱投票？有没有听过蒙特卡罗的方法？实际上对于大量的点，确定性算法可能无法在合理的时间内完成。

Answer 4

问题还原为找到 f :R x R -> N函数的全局最优。 f 的输入是圆的中心点，当然，该值是该组中包含的点的数量。功能图将是不连续的，类似楼梯的。

您可以从对应于集合中某个点的每个点测试函数开始，通过减少 f 的值来对点进行排序，然后加强围绕这些点的搜索（例如沿着螺旋）。

另一种选择是考虑连接集合中任何点对的所有交叉点。您的最佳点将位于我认为的其中一个交叉点，但它们的数量可能太大而无法考虑。

您也可以混合选项1和2，并考虑从“良好设定点”周围的点生成的线段的交叉点。

无论如何，除非设定点的数量很少（允许你检查所有的交叉点），我不会认为你可以保证找到最佳（只是一个很好的解决方案）。

Answer 5

乍一看，我会说一个四叉树解决方案。

此外，还有一种名为K-means的信息可视化/数据挖掘方法，它可以生成给定数据的集群。它最终可以与附加功能一起使用，以满足您的目的。

K-Means的基本算法是：

1. 将K点放入项目所代表的空间 正在聚集 - 这些点代表初始组质心
2. 将每个数据项分配给最接近的组 质心
3. 分配完所有项目后，重新计算 通过计算点的平均位置来计算K质心的位置
4. 重复步骤2和3，直到质心不再移动，或移动很少

添加的功能将是：

1. 计算位于K centroids的圆圈内的点数
2. 选择最适合您的那个;）

来源：
K均值算法 - Linköping University
四叉树 - en.wikipedia.org/wiki/Quadtree

快速搜索维基百科，找到源代码：en.wikipedia.org/wiki/K-means_clustering

Answer 6

这有两个想法：O（n）近似算法和O（n ^ 2 log n）精确（非近似）算法：

快速近似

使用局部敏感散列。基本上，将每个点哈希到包含所有附近点的哈希桶。设置桶以便仅在附近点之间发生冲突 - 与类似命名的哈希表不同，冲突在这里很有用。保持存储桶中碰撞次数的运行计数，然后使用该存储桶的中心作为圆的中心。

我承认这是一个概念的快速解释，这个概念在您第一次听到它时并不是非常明显。一个类比是询问一群人他们的邮政编码是什么，并使用最常见的邮政编码来确定人口最多的圈子。它并不完美，但却是一种很好的快速启发式方法。

它在点数方面基本上是线性时间，你可以动态更新你的数据集，以每个点的恒定时间逐渐获得新的答案（相对于n =点的常数）

有关locality-sensitive hashes in general或约my personal favorite version that would work in this case的更多信息。

优于蛮力的确定性方法

这个想法是：对于每个点，将圆的边缘放在该点上并扫过圆圈以查看哪个方向包含最多的点。对所有点执行此操作，我们找到全局最大值

点p附近的扫描可以在n log n时间内完成：（a）找到每个其他点q的角度间隔，这样当我们将圆放置在角度θ时，它就包含q; （b）对间隔进行排序，以便我们可以在线性时间内围绕p进行行进/扫描。

因此，需要O（n log n）时间才能找到触及固定点p的最佳圆，然后将其乘以O（n）以执行所有点的检查。总时间为O（n ^ 2 log n）。

Answer 7

如果确实精度不重要且算法可能会犯小错误那么我认为如下。

设f(x,y)是一个函数，它在点（0,0）处具有最大值，并且仅在半径R的圆内点处有效。例如，f(x,y) = e^{(x^2 + y^2)/ (2 * R^2)}。

让(x_i,y_i)为积分E_i(x,y) = f(x - x_i, y - y_i)。

您的问题是找到\sum_i E_i(x,y) 的最大值。

您可以从每个点开始使用渐变下降。

Answer 8

我可以建议密度图吗？找到x和y的最小和最大边界。将x和y边界的范围划分为宽度等于圆的直径的bin。分别计算x和y的每个bin中的点数。现在在密度图上找到排名最高的x bin与排名最高的y bin之间的交点。

这是一种非常快速的算法，可以快速推广大型数据集，但并不总是准确的，为了提高准确性，您可以将垃圾箱切成更小更小的部分，或者将垃圾箱位置向左或向右移动n次并使用投票系统，用于选择试验间最常出现的答案。

Answer 9

您可以对整个区域进行像素化，然后转到每个点并增加该点周围半径圆内的所有像素的值。总和最高的像素是很好的候选者。

当然，由于舍入误差，您可能会失去一些好的区域或“幻觉”好的区域。也许你可以先尝试粗略的像素化，然后改进有前景的区域。

Answer 10

这是着名的K最近点算法。这里描述：http://www.cs.ucsb.edu/~suri/cs235/ClosestPair.pdf