Question

给定数组A，找到满足条件的连续子数组的数量：

子阵列中没有对(i,j)，i < j和A[i] mod A[j]= M

1<=A[i]<=100000

我的方法：在O(n^2)时间复杂度中采用天真的方式，这很糟糕。

我可以将其缩小为(nlogn)吗？

Answer 1

基本上，我们需要找到所有对i < j和A[i] mod A[j] = M

如果a mod b = m，则a mod d = m, where d is a divisor of b and d > m

散列数组中的数字。对于数组中的每个数字a，检查a - m或a - m的任何除数是否为数组中的元素且其索引是否大于a的索引 - 枚举(a, a - m)中的任何现有对(a, divisor of (a - m) > m)或O(n sqrt n)。

显然，任何满足条件的连续子阵列都位于任何这样的对之间。如果我们在区间树中聚合对，当我们遍历数组时，我们可以在O(log n)时间内测试我们是否在一对中。一旦我们检测到我们正在重叠一对（树中的间隔），我们将窗口重置为(i + 1, j)（其中(i,j)是间隔）并继续计数;我们根据公式segment * (segment + 1) / 2将可实现的最大段添加到总数中，减去先前的重叠计数。

Answer 2

这是O（N）时间复杂度，但需要O（N + M）空间复杂度：

我们扫描数组并执行A [i] = A [i] mod M
保持一个大小为N的计数器数组，它在跟踪给定条件之前跟踪多少元素（基本上不等于当前元素）：
C [i] =元素A [j]的数量，使得A [j]！= A [i]其中j

考虑数组：

原作阵列：12,25,16,14,37,18,28,17,9,37
新A数组：0,1,4,2,1,6,4,5,9,1（A [i] mod M）
计数器阵列：0,1,2,3,2,3,3,4,5,4

计数器数组可以根据以前的值逐步构造：

A [j] = A [i]和j
否则C [i] = C [i-1] +1;

当在索引i之前查找A [i]的最后一次出现时，我们需要保留字典（A [i]，last-index-of-A [i]）以进行快速查找。因为我们只保留A [i] mod M =＆gt;的值。一个O（M）字典会做。

我们现在只是总结计数器数组值：

Number of contiguous subarrays = Sum(C)

在这种情况下，我们将有27个连续的子阵列，这些子阵列都符合这一条件。

满足约束的久负盛名子阵列的数量

2 个答案: