Question

我正在试图弄清楚如何从头开始实施RSA加密（仅用于智力练习），我坚持这一点：

对于加密，c = m ^e mod n

现在，e通常是65537.m和n是1024位整数（例如128字节数组）。对于标准方法来说，这显然太大了。你会如何实现这个？

我在这里读了一些关于取幂的内容，但它并没有点击给我：

Wikipedia-Exponentiation by squaring

This Chapter（参见第14.85节）

感谢。

编辑：也发现了这个 - 这是我应该看的更多内容吗？ Wikipedia- Modular Exponentiation

Answer 1

通过平方来表示：

我们举一个例子。你想找到17 ²³。请注意，23是二进制的10111。让我们尝试从左到右构建它。

           // a      exponent in binary

a = 17     //17^1          1

a = a * a  //17^2         10

a = a * a  //17^4        100
a = a * 17 //17^5        101

a = a * a  //17^10      1010
a = a * 17 //17^11      1011

a = a * a  //17^22     10110
a = a * 17 //17^23     10111

当你平方时，你将指数加倍（向左移1位）。当您乘以m时，将1加到指数中。

如果你想减少模n，你可以在每次乘法后做到（而不是把它留到最后，这会使数字变得非常大）。

65537是二进制的10000000000000001，这使得所有这一切变得非常简单。这基本上是

a = m
repeat 16 times:
    a = a * a
    a = a mod n
a = a * m
a = a mod n

当然a，n和m是“大整数”。 a需要至少为2048位，因为它可以达到（n-1）²那么大。

Answer 2

对于有效的算法，您需要在每个步骤后通过平方和重复应用mod来组合取幂。

对于奇数 e ，它有：

m ^e mod n = m·m ^e-1 mod n

即使 e ：

m ^e mod n =（m ^{e / 2} mod n）² mod n

以 m ¹ = m 作为基本情况，这定义了一种进行有效模幂运算的递归方法。

但是即使使用这样的算法，因为 m 和 n 会非常大，你仍然需要使用一个可以处理这样的整数的类型/库尺寸。

Answer 3

result = 1
while e>0:
  if (e & 1) != 0:
    result = result * m
    result = result mod n
  m = m*m
  m = m mod n
  e = e>>1
return result

这将检查指数中从最低有效位开始的位。每次我们向上移动一点，它对应于m的功率加倍 - 因此我们移动e和平方m。如果指数在该位置具有1位，则结果仅获得m的乘积。所有乘法都需要减少mod n。

作为一个例子，考虑m ^ 13。 11 = 1101二进制。所以这与m ^ 8 * m ^ 4 * m相同。注意功率8,4，（不是2），1与比特1101相同。然后回想起m ^ 8 =（m ^ 4）^ 2和m ^ 4 =（m ^ 2）^ 2。

Answer 4

如果您的bignum资料库计算g(x) = x mod 2^k的速度比f(x) = x mod N更快，因为N不能被2整除，请考虑使用Montgomery multiplication。当与模幂运算一起使用时，它避免了必须在每一步计算模N，你只需要在开始和结束时进行“蒙哥马利化”/“非蒙哥马利化”。

如何为巨大的数字实现c = m ^ e mod n？

4 个答案: