为什么加权快速联合算法会考虑树的大小而不是它们的高度？

Question

我正在观看Robert Sedgewick关于快速联盟改进的视频。 （https://youtu.be/sEo6LlPxpHE?t=267）

他使用树的大小而不是高度。实际上问题是找到根节点。如果高度很高，发现将很困难。所以我们应该找到一种方法来减轻身高的影响。只有我们比较高度才能达到预期的效果？将较短的树连接到较高的树而不是解决问题而是做：将具有较少节点数的树连接到具有较大节点数的树？

以下情况怎么样？

根据视频中的逻辑：

树的大小= 4

B树的大小= 7

如果您将A连接到B.实际上我们正在使结果树更高（高度4）。但是，如果我们基于树高度完成它，我们可以通过将树B连接到A来解决它。结果树的高度为3。

我是对的吗？ 如果错了我在哪里错了？

Answer 1

请记住，大多数不相交集林的实现都应用路径压缩优化，在每次查找期间，您都会更改链中所有节点的父指针，以便它们全部指向他们的代表。

事实证明，如果你使用路径压缩并在压缩它们之前跟踪所有节点的高度，那么按高度链接的渐近性能（通常称为 union-by-rank 其中“等级”是任何按压之前的高度），并且按重量的连接是相同的。两者都给出了逆Ackermann时间复杂度。这个结果来自this paper，这是非常技术性的，但确实证明了这两个结果。

即使你不这样做，还有另一种方法可以看出这两种方法（大致）彼此相等。请注意，如果您有一个高度为1的树，则它必须至少有两个节点。为什么？好吧，你可以制作一个高度为一的树的唯一方法是合并到高度为零的树，每个树必须至少有一个节点。使用类似的逻辑，你可以看到，如果你有一个高度为2的树，那么它必须至少有四个节点，因为要形成它，你必须将两个高度为1的树合并在一起。更一般地说，您可以显示高度为n的树必须至少包含2个 ⁿ 节点。因此，按高度合并基本上与按重量合并相同，因为树木的高度和大小之间存在紧密联系。

希望这有帮助！

Answer 2

按大小或高度加权的快速联合大致相同，它们具有相同的上限，如之前@templatetypedef所述。

让我分享更多细节。

在按大小加权的策略中，让一棵树T有一个节点x，其深度（或高度）h为1。仅当{{ 1}}合并到另一棵树，其大小等于或大于T。所以，

• 对于h = 1，树大小N = 1
• h = 2，N> = 2
• h = 3，N> = 4
• h = 4，N> = 8
• ....

换句话说，h的上限是lgN + 1（T）。

如果工会发现按身高加权怎么办？显然，当树深度为h <= (lgN + 1)时，至少需要2个节点。当h = 2时，最小节点数为4（两棵深度为2的树，两个节点的最小合并数）。情况与上面相同，

• 对于h = 1，树的大小N = 1
• h = 2，N> = 2
• h = 3，N> = 4
• h = 4，N> = 8
• ....

对于以身高加权的工会发现，我们得出结论：h = 3。也就是说，无论按高度或大小加权，其深度都具有相同的上限。

关于您提到的令人困惑的情况，这是由于合并的随机性造成的，我们已经找到了深度的上限，可以说是h <= (lgN + 1)，但是结果可能是{{1} }或5，或任何不超过4的数字，取决于合并的顺序。

在算法问题1.5.14，第237页上，又有一个词，《算法》（第4版）确实提到了按高度加权的快速结合。

Answer 3

首先，正如其他人所提到的，尺寸和高度都有相似的表现。

但是，为什么我们选择尺寸超过高度？ 我认为这是因为在路径压缩期间高度会发生变化，而尺寸则不会。

这是我自己的意见，因为我没有在任何地方找到它。希望这是真的。