Question

对于a，b，m <2 ^ 32的大值，我必须有效地计算^^ b mod m 其中^^是tetration运算符：2 ^^ 4 = 2 ^（2 ^（2 ^ 2））

m不是素数而不是10的幂。

你能帮忙吗？

Answer 1

要清楚，^^ b与^ b不同，它是指数塔a ^（a ^（a ^ ... ^ a））其中有b个副本，也是称为tetration。设T（a，b）= a ^^ b所以T（a，1）= a和T（a，b）= a ^ T（a，b-1）。

为了计算T（a，b）mod m = a ^ T（a，b-1）mod m，我们想要计算具有极大指数的mod m的幂。你可以使用的是模幂运算是预周期的，前期长度最多是素数因子分解中的素数的最大幂，最多为log_2 m，周期长度除以phi（m），其中phi（m）是Euler's totient function。实际上，周期长度除以m，lambda（m）的Carmichael's function。所以，

a^k mod m = a^(k+phi(m)) mod m as long as k>log_2 m.

注意a不一定是相对于m（或稍后，phi（m），phi（phi（m））等的素数）。如果是，你可以说a ^ k mod m = a ^（k mod phi（m））mod m。然而，当a和m不是相对素数时，这并不总是正确的。例如，phi（100）= 40，2 ^ 1 mod 100 = 2，但是2 ^ 41 mod 100 = 52.你可以将大指数减少到至少log_2 m的全等数mod phi（m），所以你可以说2 ^ 10001 mod 100 = 2 ^ 41 mod 100但你不能将它减少到2 ^ 1 mod 100.你可以定义mod m [最小x]或使用min + mod（a-min， m）只要a> min。

如果T（a，b-1）> [log_2 m]，然后

a^T(a,b-1) mod m = a^(T(a,b-1) mod phi(m) [minimum [log_2 m]])

否则只计算^ T（a，b-1）mod m。

递归计算。您可以用lambda（m）替换phi（m）。

计算2 ^ 32以下数的素数因子化并不需要很长时间，因为您可以确定最多2 ^ 16 = 65,536个试验区的素数因子。像phi和lambda这样的数论函数很容易用素因子化表示。

在每一步中，您都需要能够使用小指数计算模块化功率。

你最终计算权力mod phi（m），然后为mod phi（phi（m））提供权力，然后为mod phi（phi（phi（m）））等提供权力。它并没有那么多在迭代phi函数为1之前的迭代，这意味着你将所有东西都减少到0，并且你不再通过增加塔的高度来获得任何改变。

这是一个例子，包含在高中数学竞赛中，竞争对手应该重新发现并手动执行。 14 ^^ 2016的最后两位数是多少？

14^^2016 mod 100 
= 14^T(14,2015) mod 100
= 14^(T(14,2015) mod lambda(100) [minimum 6]) mod 100
= 14^(T(14,2015 mod 20 [minimum 6]) mod 100

T(14,2015) mod 20 
= 14^T(14,2014) mod 20
= 14^(T(14,2014) mod 4 [minimum 4]) mod 20

T(14,2014) mod 4
= 14^T(14,2013) mod 4
= 14^(T(14,2013 mod 2 [minimum 2]) mod 4

T(14,2013) mod 2
= 14^T(14,2012) mod 2
= 14^(T(14,2012 mod 1 [minimum 1]) mod 2
= 14^(1) mod 2
= 14 mod 2
= 0

T(14,2014) mod 4 
= 14^(0 mod 2 [minimum 2]) mod 4
= 14^2 mod 4
= 0

T(14,2015) mod 20
= 14^(0 mod 4 [minimum 4]) mod 20 
= 14^4 mod 20
= 16

T(14,2016) mod 100
= 14^(16 mod 20 [minimum 6]) mod 100
= 14^16 mod 100
= 36

所以，14 ^ 14 ^ 14 ^ ... ^ 14以数字结尾...... 36。

如何计算^^ b mod m？

1 个答案: