Question

我对Coq处理存在量化的方式感到困惑。

我有一个谓词P和一个假设H

P : nat -> Prop
H : exists n, P n

而目前的目标是（无论如何）

(Some goal)

如果我想在H中实例化n，我会做

elim H.

然而，在消除之后，当前的目标变为

forall n, P n -> (Some goal)

看起来Coq将存在量词转换为普遍量词。我知道（forall a，P a - > Q a） - ＆gt; （（存在a，P a） - > Q a）出于对一阶逻辑的有限知识。但反向命题似乎是不正确的。如果“forall”和“存在”之一不相等，为什么Coq会进行这样的转换？

Coq中的'elim'是否更难以替换目标？或者任何人都可以请说明为什么（（存在a，P a） - ＆gt; Q a） - ＆gt; （forall a，P a - > Q a）保持一阶逻辑？

Answer 1

可能缺少的关键是目标：

forall n, P n -> (Some goal)

应理解为：

forall n，（P n - >（某些目标））

而不是：

(forall n, P n) -> (Some goal)

也就是说，你给出的目标只是给你一个任意的n和一个证明P n，这确实是消除存在主义的正确方法（你不会知道证人的价值，因为它可以是使P成立的任何价值，您只需知道有n且P n成立。

相反，后者会为你提供一个函数，可以为你传递的任何P n构建n，这确实是一个比你拥有的更强的陈述。

Answer 2

我知道这个问题很旧，但我想补充以下重要说明：

在Coq中（更普遍地，在直觉逻辑中），存在量词是定义的（请参见here），如下所示

(exists x, (P x)) := forall (P0 : Prop), ((forall x, (P x -> P0)) -> P0)

直觉上可以理解为

(exists x, P x)是最小的命题，只要P x0保留某些x0

实际上，可以很容易地证明Coq中的以下两个定理：

forall x0, (P x0 -> (exists x, P x))    (* the introduction rule -- proved from ex_intro *)

和（提供A : Prop）

(exists x : A, P x) -> {x : A | P x}    (* the elimination rule -- proved from ex_ind *)

那么表单的Coq目标

H1...Hn, w : (exists x, P x) |- G

（使用elim）转换为形式的Coq目标

H1...Hn, w : (exists x, P x) |- forall x0, (P x0 -> G)

因为只要h : forall x0, (P x0 -> G)，然后G便被证明项精确证明

(ex_ind A P G h w) : G

在G : Prop时有效。

注意：以上消除规则仅在A : Prop时有效，而在A : Type时不成立。在Coq中，这意味着我们没有ex_rect消除器。

根据我的理解（有关更多详细信息，请参见here），这是保留良好程序提取属性的一种设计选择。