Question

假设我有一个计算时间t正弦波值的程序。正弦波的形式为sin(f*t + phi)。幅度为1。

如果我只有一个sin个词，那么一切都很好。我可以随时轻松计算出值t。

但是，在运行时，波形在与其他波形结合时会被修改。 sin(f1 * t + phi1) + sin(f2 * t + phi2) + sin(f3 * t + phi3) + ...

最简单的解决方案是创建一个包含phi和f列的表，迭代所有行，并对结果求和。但对我而言，一旦我达到数千行，计算就会变慢。

有不同的方法吗？比如将所有正弦值合并为一个陈述/公式？

Answer 1

存在用于表示不同波形的有利（即，紧凑）的不同基础（多个基础）。最常见和众所周知的是你提到的，通常称为傅立叶基。例如，Daubechies小波是一种相对较新的补充，它比傅立叶基更好地处理更多的不连续波形。但这实际上是一个数学主题，如果你发表数学溢出，你会得到更好的答案。

Answer 2

如果您有一个傅里叶级数（即某些f的f_i = i f），您可以使用Clenshaw recurrence relation，这比计算所有正弦值要快得多（但可能稍微有些不太准确）。

在您的情况下，您可以考虑序列：

f_k = exp( i ( k f t + phi_k) ) , where i is the imaginary unit.

请注意Im(f_k) = sin( k f t + phi_k )，这是您的序列。

另外

f_k = exp( i ( k f t + phi_k) ) = exp( i k f t ) exp( i phi_k )

因此你有a_k = exp(i phi_k)。您可以预先计算这些值并将它们存储在数组中。为简单起见，假设为a_0 = 0。

现在，exp( i (k + 1) f t) = exp(i k f t) * exp(i f t)，alpha_k = exp(i f t)和beta_k = 0。

您现在可以应用递归公式，在C ++中可以执行以下操作：

complex<double> clenshaw_fourier(double f, double t, const vector< complex<double> > & a )
{
    const complex<double> alpha = exp(f * t * i);

    complex<double> b = 0;

    for (int k = a.size() - 1; k >0; -- k )
        b = a[k] + alpha * b;

    return a[0] + alpha * b;
}

假设a[k] == exp( i phi_k )。

答案的真实部分是cos(k f t + phi_k)的总和，而虚部是sin(k f t + phi_k)的总和。

正如您所看到的，这仅使用加法和乘法，但exp(f * t * i)只计算一次。

在内存中保持精确的波形

2 个答案: