Question

很容易表示自由岩浆（二元叶子树），自由半群（非空列表）和免费幺半群（列表），并且不难证明它们实际上是他们声称的。但自由团体似乎更棘手。似乎至少有两种方法可以使用通常的JarSplicer表示法：

在类型中对代码进行编码，如果您有List (Either a)，那么Left a :: Right b :: ...，反之亦然。构建这些似乎有点困难。
研究等价关系，允许任意插入/删除Not (a = b)对（反之亦然）。表达这种关系似乎非常复杂。

其他人有更好的主意吗？

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我刚刚意识到唯一的答案所使用的选项（1）根本无法在最常规的设置中工作。特别是，如果不实施可判定的平等，就无法定义组操作！

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我应该首先考虑Google。几年前它看起来像Joachim Breitner did it in Agda，从他的介绍性描述来看，看起来他从选项1开始，但最终选择了选项2.我想我会自己尝试，如果我太过困难我会看看他的代码。

Answer 1

作为第一个近似值，我将此数据类型定义为

open import Relation.Binary.PropositionalEquality
open import Data.Sum
open import Data.List

infixr 5 _∷ᶠ_

invert : ∀ {α} {A : Set α} -> A ⊎ A -> A ⊎ A
invert (inj₁ x) = inj₂ x
invert (inj₂ x) = inj₁ x

data Consable {α} {A : Set α} (x : A ⊎ A) : List (A ⊎ A) -> Set α where
  nil  : Consable x []
  cons : ∀ {y xs} -> x ≢ invert y -> Consable x (y ∷ xs)

data FreeGroup {α} {A : Set α} : List (A ⊎ A) -> Set α where
  []ᶠ  : FreeGroup []
  _∷ᶠ_ : ∀ {x xs} -> Consable x xs -> FreeGroup xs -> FreeGroup (x ∷ xs)

另一个变体是

data FreeGroup {α} {A : Set α} : List (A ⊎ A) -> Set α where
  Nil   : FreeGroup []
  Cons1 : ∀ x -> FreeGroup (x ∷ [])
  Cons2 : ∀ {x y xs} -> x ≢ invert y -> FreeGroup (y ∷ xs) -> FreeGroup (x ∷ y ∷ xs)

但这个双重前置对我来说并不合适。

什么是代表自由团体的好方法？

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1 个答案: